Обобщенный морфологический подход к анализу данных

Материал из Техническое зрение
(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Полезные ссылки)
 
Строка 14: Строка 14:
  
 
$$
 
$$
\epsilon :  \vartheta \to \Lambda .
+
\varepsilon :  \vartheta \to \Lambda .
 
$$
 
$$
  
Строка 21: Строка 21:
 
$$
 
$$
 
\delta :  \Lambda \to \vartheta , \:\forall E\in \vartheta :
 
\delta :  \Lambda \to \vartheta , \:\forall E\in \vartheta :
\epsilon (\delta (\epsilon (E)))=\epsilon (E).
+
\varepsilon (\delta (\varepsilon (E)))=\varepsilon (E).
 
$$
 
$$
  
Строка 28: Строка 28:
  
 
$$
 
$$
\phi _{\epsilon \delta }(E)=\delta (\epsilon (E)): \vartheta
+
\phi _{\varepsilon \delta }(E)=\delta (\varepsilon (E)): \vartheta
 
\to \Lambda \to \vartheta .
 
\to \Lambda \to \vartheta .
 
$$
 
$$
Строка 36: Строка 36:
  
 
$$
 
$$
\phi _{\epsilon \delta }(E)=\phi _{\epsilon \delta
+
\phi _{\varepsilon \delta }(E)=\phi _{\varepsilon \delta
}(\phi _{\epsilon \delta }(E)).
+
}(\phi _{\varepsilon \delta }(E)).
 
$$
 
$$
  
Набор элементов $\mathfrak{R} =\{\vartheta ,\Lambda ,\epsilon ,\delta
+
Набор элементов $\mathfrak{R} =\{\vartheta ,\Lambda ,\varepsilon ,\delta
 
\}$ определяет частную $\textit{ формальную }$ или $\mathfrak{R}$- $\textit{морфологию }$(рис. 1). Далее необходимо перейти к
 
\}$ определяет частную $\textit{ формальную }$ или $\mathfrak{R}$- $\textit{морфологию }$(рис. 1). Далее необходимо перейти к
 
построению $\textit{критериальных}$ морфологических операторов, определяемых некоторыми априорными
 
построению $\textit{критериальных}$ морфологических операторов, определяемых некоторыми априорными
Строка 58: Строка 58:
 
качества морфологического описания данных; $K(E,E^{\prime} ): \vartheta
 
качества морфологического описания данных; $K(E,E^{\prime} ): \vartheta
 
\times \vartheta \to [0,1]$ -  критерий соответствия наблюдений и их
 
\times \vartheta \to [0,1]$ -  критерий соответствия наблюдений и их
реконструкции на основе морфологического описания. Тогда $\textit{критериальной морфологической сегментацией} \epsilon
+
реконструкции на основе морфологического описания. Тогда $\textit{критериальной морфологической сегментацией} \varepsilon
_{\textrm{Ф}}$ и $\textit{критериальным морфологическим фильтром} \phi _{\textrm{Ф}}$ на базе ($\epsilon ,\delta )$
+
_{\textrm{Ф}}$ и $\textit{критериальным морфологическим фильтром} \phi _{\textrm{Ф}}$ на базе ($\varepsilon ,\delta )$
 
называются операторы
 
называются операторы
  
 
$$
 
$$
\epsilon _{\textrm{Ф}}(E)=\lambda , \quad \phi _{\textrm{Ф}}(E)=\delta
+
\varepsilon _{\textrm{Ф}}(E)=\lambda , \quad \phi _{\textrm{Ф}}(E)=\delta
 
(\lambda ): \mbox{Ф}(E,\lambda )=K(E,\delta (\lambda ))\cdot M(\lambda
 
(\lambda ): \mbox{Ф}(E,\lambda )=K(E,\delta (\lambda ))\cdot M(\lambda
 
)\to \max(\lambda : \lambda \in \Lambda ),
 
)\to \max(\lambda : \lambda \in \Lambda ),
Строка 69: Строка 69:
  
 
где $E\in \vartheta , \textrm{Ф}(E,\lambda )$ -  $\textit{критерий оптимального морфологического описания данных. }$Таким образом, набор элементов
 
где $E\in \vartheta , \textrm{Ф}(E,\lambda )$ -  $\textit{критерий оптимального морфологического описания данных. }$Таким образом, набор элементов
$\mathfrak{I} (\mathfrak{R} )=\{\vartheta ,\Lambda ,\epsilon ,\delta ,K,M\}$
+
$\mathfrak{I} (\mathfrak{R} )=\{\vartheta ,\Lambda ,\varepsilon ,\delta ,K,M\}$
 
определяет $\textit{частную критериальную }$или $\mathfrak{I} $-$\textit{морфологию}$, которая также может быть охарактеризована более
 
определяет $\textit{частную критериальную }$или $\mathfrak{I} $-$\textit{морфологию}$, которая также может быть охарактеризована более
коротким эквивалентным набором параметров $\mathfrak{I}^{\prime} (\mathfrak{R})=\{\vartheta ,\Lambda ,\epsilon _{\textrm{Ф}},\delta \}$.
+
коротким эквивалентным набором параметров $\mathfrak{I}^{\prime} (\mathfrak{R})=\{\vartheta ,\Lambda ,\varepsilon _{\textrm{Ф}},\delta \}$.
 
Важным частным случаем описанных критериальных морфологий являются
 
Важным частным случаем описанных критериальных морфологий являются
 
$\textit{проективные критериальные морфологии}$, удовлетворяющие условию
 
$\textit{проективные критериальные морфологии}$, удовлетворяющие условию
Строка 127: Строка 127:
  
 
$$
 
$$
c_{\textrm{Ф}}(E)=\sigma (\epsilon _{\textrm{Ф}}(E)): \vartheta
+
c_{\textrm{Ф}}(E)=\sigma (\varepsilon _{\textrm{Ф}}(E)): \vartheta
 
\to \Lambda \to \Theta .
 
\to \Lambda \to \Theta .
 
$$
 
$$
Строка 143: Строка 143:
  
 
$$
 
$$
\epsilon _{\pi \mbox{Ф}}(E)=\lambda : \textrm{Ф}_{\pi }(E,\lambda
+
\varepsilon _{\pi \mbox{Ф}}(E)=\lambda : \textrm{Ф}_{\pi }(E,\lambda
 
,H)=K(\pi (E,\lambda ),\delta (\lambda ))\cdot M(\lambda
 
,H)=K(\pi (E,\lambda ),\delta (\lambda ))\cdot M(\lambda
 
,H)\cdot M(H)\to \max(\lambda \in \Lambda , H\in \Theta ).
 
,H)\cdot M(H)\to \max(\lambda \in \Lambda , H\in \Theta ).
Строка 151: Строка 151:
  
 
$$
 
$$
\phi _{\pi }(E)=\pi (E,\epsilon _{\pi \textrm{Ф}}(E)):
+
\phi _{\pi }(E)=\pi (E,\varepsilon _{\pi \textrm{Ф}}(E)):
 
\vartheta \times \Lambda \to \vartheta ,
 
\vartheta \times \Lambda \to \vartheta ,
 
$$
 
$$

Текущая версия на 18:09, 24 сентября 2020

В ряде работ был предложен обобщенный унифицированный подход к анализу изображений на основе моделей. В силу значительного сходства основных идей этого подхода с базовыми идеями морфологических систем Ж. Серра и Ю.П. Пытьева данный подход был назван $\textit{морфологическим подходом к анализу данных}$.

Морфологический подход отличается от других схем анализа данных тем, что в качестве обязательного этапа предполагает $\textit{ обоснованное }$(т.е. в некотором смысле оптимальное) построение $\textit{модельного описания гипотетического (скрытого) прообраза наблюдаемых данных}$. Иными словами, обязательным этапом решения любого типа задач здесь является $\textit{модельная сегментация }$данных, допускающая их последующую полную или частичную$\textit{ реконструкцию}$.

Формализуем этот подход. Пусть имеются $\textit{множество возможных наблюдений} \vartheta $ и $\textit{множество модельных описаний}$ некоторого типа $\Lambda $. $\textit{Базовой (формальной) операцией морфологической сегментации данных}$ называется однозначное отображение

$$ \varepsilon : \vartheta \to \Lambda . $$

$\textit{Базовой (формальной) сопряженной операцией реконструкции данных}$ называется однозначное отображение вида

$$ \delta : \Lambda \to \vartheta , \:\forall E\in \vartheta : \varepsilon (\delta (\varepsilon (E)))=\varepsilon (E). $$

$\textit{Базовым (формальным) морфологическим фильтром}$ называется последовательная комбинация сопряженных операций базовой сегментации и базовой реконструкции данных

$$ \phi _{\varepsilon \delta }(E)=\delta (\varepsilon (E)): \vartheta \to \Lambda \to \vartheta . $$

Базовый морфологический фильтр по построению является $\textit{алгебраическим проектором}$ (idempotent operator):

$$ \phi _{\varepsilon \delta }(E)=\phi _{\varepsilon \delta }(\phi _{\varepsilon \delta }(E)). $$

Набор элементов $\mathfrak{R} =\{\vartheta ,\Lambda ,\varepsilon ,\delta \}$ определяет частную $\textit{ формальную }$ или $\mathfrak{R}$- $\textit{морфологию }$(рис. 1). Далее необходимо перейти к построению $\textit{критериальных}$ морфологических операторов, определяемых некоторыми априорными критериями, основанными на семантике анализируемой предметной области, оптимальному значению которых должны соответствовать результаты обработки (сегментации и реконструкции) наблюдаемых данных.

6-3-1.jpg

Схема построения формальной морфологии

Пусть теперь заданы: $M(\lambda ): \Lambda \to [0,1]$ - критерий качества морфологического описания данных; $K(E,E^{\prime} ): \vartheta \times \vartheta \to [0,1]$ - критерий соответствия наблюдений и их реконструкции на основе морфологического описания. Тогда $\textit{критериальной морфологической сегментацией} \varepsilon _{\textrm{Ф}}$ и $\textit{критериальным морфологическим фильтром} \phi _{\textrm{Ф}}$ на базе ($\varepsilon ,\delta )$ называются операторы

$$ \varepsilon _{\textrm{Ф}}(E)=\lambda , \quad \phi _{\textrm{Ф}}(E)=\delta (\lambda ): \mbox{Ф}(E,\lambda )=K(E,\delta (\lambda ))\cdot M(\lambda )\to \max(\lambda : \lambda \in \Lambda ), $$

где $E\in \vartheta , \textrm{Ф}(E,\lambda )$ - $\textit{критерий оптимального морфологического описания данных. }$Таким образом, набор элементов $\mathfrak{I} (\mathfrak{R} )=\{\vartheta ,\Lambda ,\varepsilon ,\delta ,K,M\}$ определяет $\textit{частную критериальную }$или $\mathfrak{I} $-$\textit{морфологию}$, которая также может быть охарактеризована более коротким эквивалентным набором параметров $\mathfrak{I}^{\prime} (\mathfrak{R})=\{\vartheta ,\Lambda ,\varepsilon _{\textrm{Ф}},\delta \}$. Важным частным случаем описанных критериальных морфологий являются $\textit{проективные критериальные морфологии}$, удовлетворяющие условию

$$ \phi _{\textrm{Ф}}(E)=\phi _{\textrm{Ф}}(\phi _{\textrm{Ф}}(E)). $$

Поскольку в таком случае критериальная $\mathfrak{I} $-морфология является также и формальной $\mathfrak{R}$-морфологией, то на базе критериальной проективной морфологии $\textit{первого порядка}$ $\mathfrak{R}^{\prime} =\mathfrak{I}^{\prime} (\mathfrak{R})$, в свою очередь, может быть вновь построена критериальная морфология $\textit{второго порядка}$ $\mathfrak{I}^{\prime\prime} = \mathfrak{I}^{\prime} (\mathfrak{R}^{\prime} )$ и т.\:д. Поэтому исследование проективных свойств критериальных морфологий представляет существенный интерес, а класс $\textit{проективных критериальных морфологий}$ $\mathfrak{R}^{\prime} (\mathfrak{R} ,K,M)$ может быть назван классом $\textit{критериальных морфологий в узком смысле.}$

Можно заметить, что рассмотренные в предыдущих разделах классические морфологии Пытьева и Серра являются одновременно и формальными, и критериальными (рис. 2). Проекция Пытьева на класс изображений заданной формы есть $\textit{ближайший в смысле евклидова расстояния}$ образ в данном классе (на рис. 2) эта идея иллюстрируется на примере образов-векторов). Проективный оператор типа "открытие" Серра определяет изображение $\textit{максимальной площади}$, принадлежащее классу представимых путем объединения заданных структурированных элементов и при этом целиком вписанное в проецируемое изображение.

6-3-2.jpg

Критериальная интерпретация морфологий Пытьева и Серра

Рассмотрим теперь такие основные классы задач анализа данных (изображений), как задачи $\textit{фильтрации}$ (преобразования), $\textit{сжатия/декомпрессии}$ (сегментации/реконструкции) данных, $\textit{классификации}$ (тестирования гипотез, распознавания образов), $\textit{обнаружения}$ объектов (локализации гипотез в пределах одного наблюдения).

Легко заметить, что задачи $\textit{фильтрации}$ и $\textit{сегментации}$ решаются в описанной выше схеме по определению.

Для решения задачи $\textit{морфологического распознавания образов}$ необходимо добавить к морфологической схеме анализа данных: множество гипотез $\Theta $; однозначный оператор $\textit{интерпретации морфологических описаний на множестве гипотез } \sigma $: $\Lambda \to \Theta $; $\textit{модель предметной области } M(H)$: $\Theta \to [0,1]$; $\textit{модель соответствия описаний объектов гипотезам из предметной области } M(\lambda ,H)$: $\Lambda \times \Theta \to [0,1]$. Тогда модель описания данных принимает вид

$$ M_{\Theta }(\lambda )=\max\{M(\lambda ,H)\cdot M(H): H\in \Theta \}, $$

и $\textit{критериальный морфологический классификатор}$ формируется как модульная процедура анализа данных вида

$$ c_{\textrm{Ф}}(E)=\sigma (\varepsilon _{\textrm{Ф}}(E)): \vartheta \to \Lambda \to \Theta . $$

Для решения задачи $\textit{морфологического обнаружения (локализации) объектов}$ морфологическую схему необходимо также дополнить операцией $\textit{вырезки}$ или $\textit{выборки}$ части наблюдения $E$, согласованной с морфологическим описанием $\lambda $, вида

$$ \pi (E,\lambda ): \vartheta \times \Lambda \to \vartheta . $$

С учетом этой операции задача $\textit{обнаружения и локализации объекта}$ решается при помощи морфологического оператора

$$ \varepsilon _{\pi \mbox{Ф}}(E)=\lambda : \textrm{Ф}_{\pi }(E,\lambda ,H)=K(\pi (E,\lambda ),\delta (\lambda ))\cdot M(\lambda ,H)\cdot M(H)\to \max(\lambda \in \Lambda , H\in \Theta ). $$

Данный подход позволяет также определить $\textit{селективный морфологический фильтр}$

$$ \phi _{\pi }(E)=\pi (E,\varepsilon _{\pi \textrm{Ф}}(E)): \vartheta \times \Lambda \to \vartheta , $$

по определению являющийся алгебраическим проектором.

[править] Полезные ссылки

  1. ☝ К началу
  2. ☜ Морфологические системы и анализ изображений
Личные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты