Обобщенные скелетные представления бинарных фигур

Материал из Техническое зрение
Версия от 08:59, 27 сентября 2020; JIoku (обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Для того чтобы можно было говорить о "скелетах" и "скелетных представлениях" фигур в самых общих терминах, не делая различия между разными версиями дискретных и непрерывных бинарных морфологий, введем следующие определения.

Содержание

Пространство изображения

$\textit{Пространство изображения}$ представляет собой множество $\textbf{P}$ точек плоскости, $\textbf{P}\subseteq X\times Y$, где $X$, $Y$ - оси прямоугольной декартовой системы координат.

Бинарное изображение

$\textit{Бинарное изображение}$ - функция

$$ B(x,y): X\times Y \to \{0,1\}. $$

Бинарная фигура (паттерн)

$\textit{Бинарная фигура (паттерн)}$ - множество точек

$$ \textbf{B} = \{{\textbf{p}}\in \textbf{P}: {\textbf{p}}=\langle x,y\rangle , \: B(x,y)=1\}. $$

Пусть теперь имеется множество действительных чисел ${R}$ такое, что

$$ \mathcal{R }= {R}^{- }\cup 0 \cup {R}^{+},\: {R}^{-}\in (-\infty ,0),\: {R}^{+}\in (0,+\infty ),\: {R}^{- }\ne \emptyset ,\: \mathcal{ R}^{+ }\ne \emptyset . $$

Пусть имеется также полностью упорядоченное отношением строгого включения "$\subset $" множество фигур

$$ \mathfrak{G}({R})=\{\mathcal{G}(r),\: r\in {R}\},\: \mathfrak{G}({R})\subseteq \textbf{P}, $$

параметризованное скалярами из ${R}$ в том смысле, что между ними имеется взаимно однозначное соответствие, причем

$$ \forall r<0: \textbf{G}(r)=\emptyset ,\: \textbf{G}(0)= \langle 0,0\rangle ,\: \textbf{G}(\textrm{sup}({R}))=\textbf{P},\: $$

$$ \forall r,t\in {R}: t < r \Leftrightarrow \textbf{G}(t) \subset \textbf{G}(r). $$

Базовоая структурирующая последовательность

Упорядоченное множество $\mathfrak{G}({R})$ будем далее называть $\textit{базовой структурирующей последовательностью}$, ее элементы $\textbf{G}(r)$ - $\textit{базовыми структурирующими элементами}$, а соответствующие значения скаляра $r$ - характеристическим $\textit{размером}$ или $\textit{масштабом}$ структурирующих элементов базовой последовательности. Точку $\textbf{G}(0)=\langle 0, 0 \rangle$ будем называть $\textit{центром}$ базового структурирующего элемента, поскольку $\forall r>0:$ $\textbf{G}(0)\subset \textbf{G}(r)$.

$\textit{Cдвиг}$ фигуры $\textbf{B}$ в пространстве $\textbf{P}$ на вектор ${\textbf{p}}= \langle x,y \rangle \in \textbf{P}$ будем обозначать выражением $$ \textbf{B}({\textbf{p}}) = \{ \langle x_{b}+x,y_{b}+y \rangle : \langle x_{b},y_{b}\rangle \in \textbf {B}\}. $$ Соответственно, $\textbf{B}(\langle 0, 0 \rangle )=\textbf{B}$. Оператор сдвига, применяемый к элементам базовой последовательности, удобно обозначать при помощи дополнительного параметра: $$ \textbf{G}(r)({\textbf{p}}) = \textbf{G}( {\textbf{p}},r ),\: {\textbf{p}}\in \textbf{P},\: r\in {R}. $$ Определенное таким образом множество $$ \mathfrak{G}(\textbf{P},{R}) = \{\textbf{G}({\textbf{p}},r),\: {\textbf{p}}\in \textbf{P},\: r\in {R}\} $$ является полным базисом морфологического разложения. То есть любую фигуру $\textbf{A}$ можно представить в виде

$$ \textbf{A} = \mathop\cup\limits_{\textbf{p}\in \textbf{P}} \;\mathop\cup\limits_{r\in {R}} \{\textbf{G}({\textbf{p}},r): \textbf{G}({\textbf{p}},r) \subseteq\textbf{A}\}. $$

Максимальный составляющий элемент

$\textit{Максимальным составляющим элементом}$ для фигуры $\textbf{A}$ назовем такой базисный элемент $\textbf{G}({\textbf{p}}, r)$, для которого выполняются условия

1) $\textbf{G}({\textbf{p}},r) \subseteq \textbf{A}$,

2) $\nexists \, {\textbf{q}}\in \textbf{P},\: t\in {R},\: \textbf{ G}({\textbf{p}},r) \subset \textbf{G}({\textbf{q}},t) \subseteq \textbf{A}$.

Скелет фигуры

$\textit{Скелетом}$ фигуры будем называть множество центров ее максимальных составляющих элементов $$ \textbf{S}(\textbf{A}) = \{{\textbf{p}}: \textbf{G}({\textbf{p}},r) \subseteq \textbf{A},\: \nexists\, {\textbf{q}}\in \textbf{P},\: t\in {R},\: \textbf{ G}({\textbf{p}},r) \subset \textbf{G}({\textbf{q}},t) \subseteq \textbf{A}\}. $$

Радиальная функция

$\textit{Радиальной}$ или $\textit{дистанционной функцией}$ образа $\textbf{A}$ назовем скалярную функцию $$ r_{A}({\textbf{p}}) = \max _{r\in {R}} \{r: \textbf{G}({\textbf{p}},r) \subseteq \textbf{A}\}. $$ Это позволяет определить $\textit{скелетное представление}$ как множество пар $$ \textbf{SR}(\textbf{A}) = \{\langle{\textbf{p}} , r_{A}({\textbf{p}})\rangle : {\textbf{p}}\in \textbf{S}(\textbf{A})\}. $$ Такое описание содержит всю информацию о форме фигуры, необходимую для реконструкции: $$ \textbf{A} = \mathop\cup\limits_{\langle \textbf{p},r \rangle \in \textbf{SR}(\textbf{A})} \textbf{G}({\textbf{p}},r). $$


Полезные ссылки

  1. ☝ К началу
  2. ☜ Математическая морфология (по Ж. Серра)
Личные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты