Нелинейная фильтрация бинарных и полутоновых изображений

Материал из Техническое зрение
(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Содержимое страницы заменено на «==Подробнее== #Задача фильтрации изображений #[[Фильтрация бинарных из…»)
Строка 1: Строка 1:
[[Задача фильтрации изображений]]
+
==Подробнее==
  
$\textbf{Зашумление изображения. Модели шумов}$.
+
#[[Задача фильтрации изображений]]
Выше мы уже писали о том, что под задачей "фильтрации изображений" в
+
#[[Фильтрация бинарных изображений]]
широком смысле иногда понимают любые процедуры обработки изображений, при
+
#[[Нелинейная фильтрация полутоновых изображений]]
которых на вход процедуры подается (одно) растровое изображение, и на выходе
+
#[[Литература для самостоятельного изучения 4]]
также формируется растровое изображение. Такие процедуры типа (один
+
растровый вход, один растровый выход) называют\linebreak $\it{фильтрами}$.
+
 
+
Однако чаще под "фильтрацией" в более узком смысле понимают так называемую
+
$\textit{помеховую фильтрацию}$, или фильтрацию изображений от "шума". При этом неявно предполагается, что
+
первоначально где-то существовало некое "исходное" идеально чистое
+
(незашумленное) изображение, из которого затем путем $\it{зашумления}$ (определенного вида
+
искажения), было получено то реальное изображение, которое мы наблюдаем.
+
Задача помеховой фильтрации, таким образом, сводится к тому, чтобы путем
+
некоторой обработки наблюдаемого реального изображения как можно лучше
+
"очистить его от шума", то есть получить изображение, наиболее близкое по
+
своим характеристикам к исходному "незашумленному" изображению.
+
 
+
На самом деле необходимо понимать, что "зашумление" -  это всего лишь
+
очень упрощенная идеализированная модель возникновения искажений в цифровых
+
изображениях реальных объектов. Вообще же говоря, искажения изображения,
+
получаемого путем видеосъемки реального трехмерного объекта в природной
+
обстановке, могут носить весьма сложный характер, зависящий от условий
+
съемки (освещенность, туман, блики, тени, дождь, снег и т. п.), характеристик
+
оптической системы (дисторсии, расфокусировки, замутненность линз и зеркал и
+
т. п.), характеристик электронной регистрирующей аппаратуры, характеристик
+
канала передачи, характеристик устройств оцифровки и еще многих и многих
+
факторов. Приближенные к реальности математические модели формирования
+
цифровых изображений содержат сотни сложных нелинейных уравнений и множество
+
табличных поправок. При этом закон формирования значения яркости каждого
+
пиксела изображения, как правило, не является независимым от формирования
+
соседних пикселов, яркостные параметры изображения зависят от
+
геометрических, и так далее. При попытке математически "скорректировать"
+
подобную сложную модель регистрации изображения говорят уже не о фильтрации
+
от шума, а о $\it{реставрации}$ или $\it{реконструкции}$ изображений.
+
 
+
К сожалению, методы реставрации изображений слишком сложны в вычислительном
+
смысле, чтобы на практике использоваться в системах машинного зрения,
+
работающих в реальном масштабе времени. Кроме того, они требуют точного
+
знания математической модели и всех параметров системы видеорегистрации,
+
что на практике также практически невозможно. Поэтому в реальных системах
+
машинного зрения, как правило, используются более простые, но тем не менее
+
достаточно эффективные процедуры помеховой фильтрации, разработанные для
+
борьбы с гораздо более простыми искажениями в виде $\it{независимого зашумления пикселов}$ изображения.
+
 
+
Наиболее общей моделью независимого зашумления пикселов является $\it{шум замещения}$. Пусть
+
дано исходное ("незашумленное") полутоновое изображение Im$[x,y]$, каждый пиксел
+
которого может принимать значения в диапазоне $[0,\ldots , I_{\textrm{max}}-1]$. Общая
+
модель шума замещения предполагает, что после зашумления каждый пиксел
+
изображения, имевший ранее значение яркости $i$, либо с некоторой
+
известной вероятностью $p(i)$ это значение сохранит, либо данное значение
+
яркости будет случайным образом замещено с вероятностью $q(i,j)$ некоторым
+
другим значением яркости $j$ из того же конечного дискретного диапазона
+
$[0,\ldots , I_{\textrm{max}}-1]$. Как видно, для описания такой общей модели случайного
+
замещения нам потребуется задать таблицу $\it{переходных вероятностей}$ размера $I_{\textrm{max}}^{2}$, что
+
составляет весьма значительное количество в случае обычного $8$-битового
+
полутонового изображения (размер таблицы -  $256\times 256$ элементов).
+
Такое описание явно является некомпактным и поэтому редко
+
используется на практике для полутоновых изображений. В то же время, для бинарных
+
изображений, в которых $I_{\rm {max}} = 2$, такое описание является наиболее
+
удобным, простым и естественным. Чуть ниже мы еще рассмотрим модель шума
+
замещения на бинарных изображениях -  так называемую модель шума "соль и
+
перец".
+
 
+
Для полутоновых изображений, как правило, рассматривают другую, более
+
частную модель зашумления -  $\it{аддитивный шум}$, которая предполагает, что зашумленное
+
изображение порождается по  закону
+
 
+
$$
+
{\rm Im}^{\prime} [x,y] = {\rm Im} [x,y] + R(x,y),
+
$$
+
 
+
где ${\rm Im}^{\prime} [x,y]$ -  пиксел зашумленного изображения, ${\rm Im} [x,y]$ -  пиксел
+
исходного изображения, а $R(x,y)$ -  случайная $\it{аддитивная шумовая компонента}$. Кроме того, в
+
большинстве
+
приложений зависимость шума от координат пиксела считается несущественной. Наконец, исходя из известного в статистике $\it{закона больших чисел}$, закон распределения аддитивной
+
шумовой компоненты предпочитают описывать удобным параметрическим семейством
+
$\it{нормальных}$ ($\it{гауссовских}$) распределений с нулевым средним. Таким образом, $\it{гауссовский аддитивный шум}$ описывается
+
выражением
+
 
+
$$
+
{\rm Im}^{\prime} [x,y] = {\rm Im}[x,y] + N(0,\sigma ),
+
$$
+
 
+
где $N(a,\sigma )$ -  нормальное распределение, $a$ -  математическое
+
ожидание нормально распределенного сигнала, $\sigma $ -  средний квадрат
+
отклонения (СКО) нормально распределенной величины. Именно такая модель
+
зашумления чаще всего рассматривается в задачах фильтрации полутоновых
+
изображений.
+
 
+
На рис. 2 - 8 показаны примеры искусственного зашумления исходного
+
полутонового изображения лейкоцитов (рис. 1) специально сгенерированным
+
аддитивным гауссовским шумом с различными значениями СКО. Как видно, чем
+
больше параметр зашумления $\sigma $, тем более искаженным выглядит
+
изображение. При больших значениях $\sigma $ (рис. 7, 8) даже
+
человеческий глаз уже с трудом различает общие очертания крупноразмерных
+
объектов изображения (в данном случае -  лейкоцитов), более мелкие и менее
+
контрастные объекты становятся практически неразличимы.
+
 
+
В следующих разделах мы будем иметь в виду этот пример, рассматривая
+
различные методы фильтрации цифровых изображений.
+
 
+
<center>
+
{|
+
|align="center"|[[Файл:3-2-1.jpg]]
+
|align="center"|[[Файл:3-2-2.jpg]]
+
|-
+
|align="center"|Исходное полутоновое изображение, $\sigma  = 0$
+
|align="center"|Зашумление полутонового изображения аддитивным гауссовским шумом, $\sigma  = 20$
+
|}
+
 
+
|align="center"|[[Файл:3-2-3.jpg]]
+
|align="center"|[[Файл:3-2-4.jpg]]
+
|-
+
|align="center"|Зашумление полутонового изображения аддитивным гауссовским шумом, $\sigma  = 40$
+
|align="center"|Зашумление полутонового изображения аддитивным гауссовским шумом, $\sigma  = 60$
+
|}
+
 
+
{|
+
|align="center"|[[Файл:3-2-5.jpg]]
+
|align="center"|[[Файл:3-2-6.jpg]]
+
|-
+
|align="center"|Зашумление полутонового изображения аддитивным гауссовским шумом, $\sigma  = 80$
+
|align="center"|Зашумление полутонового изображения аддитивным гауссовским шумом, $\sigma  = 100$
+
|}
+
+
{|
+
|align="center"|[[Файл:3-2-7.jpg]]
+
|align="center"|[[Файл:3-2-8.jpg]]
+
|-
+
|align="center"|Зашумление полутонового изображения аддитивным гауссовским шумом, $\sigma  = 200$
+
|align="center"|Зашумление полутонового изображения аддитивным гауссовским шумом, $\sigma  = 300$
+
|}
+
 
+
</center>
+
 
+
$\textbf{Оконная фильтрация изображений в пространственной области}$.
+
Исходя из задачи восстановления исходных значений яркости
+
незашумленного изображения, а также из того, что шумовая компонента каждого
+
пиксела является заранее не известной случайной величиной, следует, что для
+
решения данной задачи необходимо использовать ту или иную процедуру
+
$\textit{статистического оценивания}$. Это может быть Байесовское оценивание, оценивание по методу наибольшего
+
правдоподобия или любой другой метод, известный из курса математической
+
статистики. Однако все эти методы требуют использовать для оценки искомой
+
величины не одно единственное измерение (ведь оно также может быть
+
зашумлено), а большую или меньшую $\textit{статистическую выборку, }$всегда включающую несколько отсчетов,
+
характеризующих данную величину. В связи с этим и основная идея помеховой
+
фильтрации изображений заключается в том, что для оценки исходного значения
+
каждого пиксела изображения используется не только значение самого данного
+
пиксела (как в ранее рассмотренных градационных преобразованиях), но и
+
значения еще нескольких близких к нему пикселов, попадающих в так называемое
+
"$\it{окно}$" или $\it{апертуру}$ фильтра. При этом "близость" пикселов к оцениваемому понимается
+
в буквальном геометрическом смысле.
+
 
+
Наиболее простыми для вычислительной реализации являются традиционно
+
используемые $\textit{прямоугольные окна}$ (апертуры) фильтрации, определяемые простым условием типа
+
"$\textit{все пикселы данного окна отстоят от тестируемого центрального пиксела на более чем на WinX/2
+
по горизонатали и WinY/2 по вертикали}$", где WinX и WinY -  горизонтальный и вертикальный размер окна
+
фильтрации соответственно. Возможны и другие, более сложные способы
+
формирования окон фильтрации -  круглой, треугольной или любой другой
+
произвольной формы.
+
 
+
Типовая процедура оконной фильтрации предполагает, что окно фильтрации
+
последовательно движется по $\textit{входному изображению}$ (например, алгоритм может обходить изображение
+
"в порядке чтения": сверху вниз по строкам, слева направо в каждой
+
строке), при этом в каждом положении окна происходит анализ всех пикселов,
+
принадлежащих в данный момент окну, и на основе такого анализа центральному
+
пикселу окна на $\textit{выходном изображении}$ присваивается то или иное финальное значение.
+
Сформированное таким образом выходное изображение также называется
+
$\textit{результатом фильтрации}$.
+
 
+
Процедуры оконной фильтрации могут различаться:
+
 
+
 
+
# размером и формой окна (апертуры);
+
# типом собираемых в окне локальных статистик;
+
# способом принятия решения на основе собранных статистик.
+
 
+
В любом случае, речь идет об использовании для оценивания значения
+
центрального пиксела апертуры информации о значениях его соседей по
+
изображению. В статистическом смысле это означает, что мы неявно опираемся
+
на предположение о том, что на исходном незашумленном изображении значения
+
яркостей всех этих соседних пикселов были одинаковыми или очень близкими, и
+
наблюдаемые различия в их яркостях на зашумленном изображении определяются
+
только присутствием шумовой компоненты, которую и необходимо исключить.
+
Между тем, как мы уже видели, исследуя профили изображения, содержательное
+
изображение вовсе не представляет собой одну сплошную "плоскость". В тех
+
областях, которые визуально кажутся нам областями одинаковой или медленно
+
меняющейся яркости, значения соседних пикселов действительно различаются
+
незначительно. В то же время, на границах таких областей наблюдаются порой
+
весьма резкие перепады яркости -  разница значений составляет от десятков
+
до сотен градаций интенсивности даже между непосредственно соседствующими
+
пикселами. Таким образом, мы видим, что на границах однородных областей
+
оконные фильтры не могут работать эффективно, напротив, здесь они с большой
+
вероятностью будут ошибаться, что визуально приведет к эффекту $\textit{искажения формы контуров}$. Более того,
+
если на исходном изображении присутствуют контрастные объекты (области),
+
размер которых существенно меньше размера окна фильтрации, фильтр может
+
просто "не заметить" такой объект, отфильтровать его как шум, что приведет
+
к $\textit{исчезновению мелкоразмерных объектов}$ на результирующем выходном изображении.
+
 
+
Казалось бы, из предыдущих рассуждений вытекает необходимость работать с
+
небольшими по размеру апертурами фильтров. Ведь чем меньше окно фильтра, тем
+
меньшее число точек контура будет им "задето" и тем больше будет число
+
точек, расположенных на "плато" однородных областей, для которых
+
предположение о равной яркости всех пикселов в окружающей их области будет
+
справедливо. Однако интуитивно понятно, что чем сильнее присутствующий на
+
изображении шум (чем противоречивее и "лживее" в среднем свидетельства
+
точек об их яркости), тем большее количество пикселов приходится опрашивать,
+
чтобы добиться необходимой степени уверенности в ответе. То есть апертуры
+
большего размера обладают большей способностью к подавлению шумовой
+
компоненты, для чего в принципе и создается помеховый фильтр.
+
 
+
Таким образом, конструируя и исследуя оконные процедуры фильтрации
+
изображений, мы всегда должны оценивать наблюдаемое $\textit{качество фильтрации}$ по двум следующим
+
основным позициям:
+
 
+
 
+
# способность фильтра удалять (отфильтровывать) с изображения шум;
+
# способность фильтра сохранять на изображении мелкоразмерные детали и форму контуров.
+
 
+
С точки зрения последующего анализа изображения идеальным был бы такой
+
помеховый фильтр, который мог бы полностью отфильтровывать шум, не искажая
+
при этом формы контуров. К сожалению, эти требования противоречивы, поэтому
+
в различных методах фильтрации мы имеем дело лишь с различными вариантами
+
компромисса между ними. Выбор конкретного помехового фильтра для реализации
+
в практической системе машинного зрения определяется тем, какое из
+
требований является более важным в данной конкретной задаче, а также
+
ограничениями, налагаемыми на систему архитектурой и скоростью имеющихся
+
вычислительных средств.
+
 
+
Перейдем теперь к рассмотрению конкретных алгоритмов оконной фильтрации
+
изображений. Поскольку принципиальный смысл основных процедур фильтрации
+
проще почувствовать на примере фильтрации бинарных изображений, мы начнем с
+
изучения простейших $\textit{бинарных фильтров}$.
+
 
+
[[Фильтрация бинарных изображений]]
+
[[Нелинейная фильтрация полутоновых изображений]]
+
Алгоритмы нелинейной оконной фильтрации полутоновых изображений делятся на
+
две большие группы: нелинейные ранговые и морфологические фильтры. Ранговая
+
фильтрация рассматривается в данном разделе. Морфологические фильтры будут
+
подробно описаны в гл. 6.
+
 
+
$\textbf{Ранговая оконная фильтрация.}$
+
Нелинейная ранговая фильтрация является непосредственным обобщением бинарной
+
ранговой фильтрации и опирается на понятие $\textit{порядковой статистики}$. Вокруг каждого элемента
+
изображения выбирается окрестность, входящие в нее элементы изображения
+
упорядочиваются по возрастанию яркости. $\textit{Ранговый фильтр}$ порядка $r$ ($1 \le r \le N$,
+
где $N$ -  число отсчетов в окрестности) выбирает из полученного ряда
+
элемент с номером $r$ и присваивает его значение исходному элементу
+
изображения. Когда число $N$ нечетное и $r = ( N+1 ) /2 $, то фильтр называется
+
$\textit{медианным}$. Медианный фильтр имеет важное значение в обработке изображений вследствие
+
высокой $\textit{робастности}$, то есть нечувствительности результатов фильтрации к плотности
+
распределения (первого порядка) шумовой компоненты. Это связано с тем, что
+
медианный фильтр с апертурой площадью $2M + 1$ эффективно
+
подавляет локальные области площадью менее $M$ пикселов. В то же время,
+
при фильтрации контрастных крупноразмерных объектов медианный фильтр
+
не размывает и не смещает их края (точки перепада яркости).
+
 
+
Рассмотрим примеры ранговой полутоновой фильтрации по аналогии с тем, как
+
ранее были рассмотрены примеры ранговой бинарной фильтрации. Изображения
+
зашумлены гауссовским аддитивным шумом (см. рис. 2 - 8).
+
 
+
На рис. 38 - 43 приводятся примеры фильтрации полутонового
+
изображения с различными степенями зашумления медианным фильтром с размером
+
окна 3$\times $3. Как видно, данный фильтр хорошо справляется со слабой и
+
средней степенью зашумления (рис. 38 - 42), однако при дальнейшем
+
увеличении мощности шума фильтр с апертурой $3\times 3$ начинает ошибаться
+
(рис. 44, 43).
+
 
+
Для подавления более интенсивных шумов необходимо использовать медианный
+
фильтр с большими размерами окна фильтрации. На рис. 44 - 49
+
приводятся примеры медианной фильтрации с различными размерами апертуры.
+
 
+
\begin{cFigures}
+
\Figure
+
{Слабая степень зашумления исходного изображения}3_2_38
+
[t]{4.6cm}{4.6cm}{PIC/pic3_2_38.eps}\quad
+
\Figure
+
{Результат фильтрации медианой med $3\times 3$}3_2_39
+
[t]{4.6cm}{4.6cm}{PIC/pic3_2_39.eps}
+
\end{cFigures}
+
 
+
 
+
 
+
Как видно из рис. 45 - 47, с увеличением размера окна растет
+
способность медианного фильтра подавлять шумовую компоненту. Однако при
+
слишком больших размерах апертуры (рис. 48, 49), как и в случае
+
бинарной фильтрации, очертания объектов оказываются слишком сильно искажены.
+
Кроме того, меньшие по размеру объекты оказываются целиком удалены с
+
изображения. Поэтому в каждом конкретном случае фильтры необходимо
+
настраивать в зависимости от наблюдаемой степени искажений характерных
+
размеров наблюдаемых объектов.
+
 
+
 
+
 
+
 
+
 
+
\begin{cFigures}
+
\Figure
+
{Средняя степень зашумления исходного изображения}3_2_40
+
[t]{4.6cm}{4.6cm}{PIC/pic3_2_40.eps}\quad
+
\Figure
+
{Результат фильтрации med $3\times 3$}3_2_41
+
[t]{4.6cm}{4.6cm}{PIC/pic3_2_41.eps}
+
\end{cFigures}
+
\begin{cFigures}
+
\Figure
+
{Сильная степень зашумления исходного изображения}3_2_42
+
[t]{4.6cm}{4.6cm}{PIC/pic3_2_42.eps}\quad
+
\Figure
+
{Результат фильтрации med $3\times 3$}3_2_43
+
[t]{4.6cm}{4.6cm}{PIC/pic3_2_43.eps}
+
\end{cFigures}
+
\begin{cFigures}
+
\Figure
+
{Зашумленное изображение}3_2_44
+
[t]{4.5cm}{4.5cm}{PIC/pic3_2_44.eps}\quad
+
\Figure
+
{Результат медианной фильтрации med $5\times 5$}3_2_45
+
[t]{4.5cm}{4.5cm}{PIC/pic3_2_45.eps}
+
\end{cFigures}
+
 
+
\begin{cFigures}
+
\Figure
+
{Результат медианной фильтрации med $7\times 7$}3_2_46
+
[t]{4.5cm}{4.5cm}{PIC/pic3_2_46.eps}\quad
+
\Figure
+
{Результат медианной фильтрации med $9\times 9$}3_2_47
+
[t]{4.5cm}{4.5cm}{PIC/pic3_2_47.eps}
+
\end{cFigures}
+
\begin{cFigures}
+
\Figure
+
{Результат медианной фильтрации med $15\times 15$}3_2_48
+
[t]{4.5cm}{4.5cm}{PIC/pic3_2_48.eps}\quad
+
\Figure
+
{Результат медианной фильтрации med $31\times 31$}3_2_49
+
[t]{4.5cm}{4.5cm}{PIC/pic3_2_49.eps}
+
\end{cFigures}
+
 
+
 
+
Имеется значительное число обобщений и модификаций процедур нелинейной
+
ранговой обработки. Введем необходимые понятия для их краткого описания в
+
соответствии с терминологией, предложенной в работе:
+
 
+
$\langle i,j \rangle$ -  координаты текущего пиксела на изображении;
+
 
+
$f_{ij }\in  [0,  Q-1]$ -  дискретное значение яркости изображения $f(i,j)$ в точке $\langle i,j \rangle$;
+
 
+
 
+
 
+
$Q$ -  число уровней яркости;
+
 
+
$\textit{$S$-окрестность}$ элемента $\langle i,j \rangle$ -  заданное определенным образом множество элементов
+
изображения, окружающих "центральный" элемент $\langle i,j\rangle$ (форма апертуры).
+
Примеры типичных S-окрестностей: квадрат, прямоугольник, крест, окружность и
+
т. п.;
+
 
+
$\textit{$M$-окрестность}$ -  подмножество элементов S-окрестности, обладающих каким-либо нужным
+
свойством, например, подмножество отсчетов, превышающих заданный порог и
+
др.;
+
 
+
$N_m$ -  число элементов M-окрестности;
+
 
+
$f_{m}(r)$ -  $r$-я порядковая статистика по M-окрестности;
+
 
+
${\rm MEAN (M)} = \frac{1}{N_m }\sum\limits_{i,j\in \textrm{M}} {f_{i,j} } $ -  среднее
+
арифметическое значение элементов M-окрестности;
+
 
+
${\rm MED(M)} = f_{m}    (\left[ (N_m + 1)/2\right])$ -  медиана элементов
+
M-окрестности.
+
 
+
Наиболее важные типы M-окрестности:
+
 
+
$\textit{KSN-окрестность}$ состоит из $k$ элементов, ближайших по какой-либо метрике на растре к
+
заданному элементу;
+
 
+
$\textit{KNV-окрестность}$ из $k$ ближайших соседей к данному элементу по значению сигнала;
+
 
+
$\textit{EV-окрестность}$: ${\rm EV}(f) = \{f_{s}(k): f_{ij} - \epsilon _{v} \le k \le  f_{ij} + \epsilon _{v}\}$;
+
 
+
и $\textit{ER-окрестность:}$ ${\rm ER}(f) = \{f_{s}(k): r_{m}(f_{ij}) - r_{r} \le  k \le  r_{m}(f_{ij}) + r_{r}\}$,
+
 
+
где $f_{s}(k)$ -  элемент S-окрестности точки $\langle i,j\rangle$ со
+
значением яркости $k$; $r_{m}(f)$ -  ранг элементов $f$ в вариационном ряду
+
M-окрестности.
+
 
+
Введем модель импульсного шума замещения в виде
+
$$f_{ij}^\prime = f_{ij} \delta _{ij} + (1 - \delta_{ij}) f^{k}_{ij},$$
+
где $\delta _{ij}$ -  случайная величина, принимающая значения 0 или 1 с
+
вероятностью $p$ и характеризующая наличие ($\delta  = 0$) или отсутствие
+
($\delta  = 1$) сбоя сигнала.
+
 
+
Можно показать, что для этой модели шума строгая постановка задачи
+
оптимального сглаживания по методу максимального правдоподобия приводит к
+
итеративной (с номером итерации $t=0,1,{\ldots}$) процедуре фильтрации вида
+
$$
+
f^{(t+1)} = {\rm MEAN(EV}(f^{ (t)}))
+
$$
+
или
+
$$
+
f^{(t+1)} = {\rm MED (EV}(f^{ (t)}))
+
$$
+
в зависимости от выбора статистики сигнала (гауссовская или лапласовская).
+
 
+
С точки зрения задачи подавления шума без потери формы сигнала критерии
+
оптимальности можно определить следующим образом. Ранговым алгоритмам,
+
использующим EV-окрестности, соответствует критерий максимального подавления
+
шума при уровне смаза, не превышающем заданного, а ранговым алгоритмам,
+
использующим KNV-окрестность -  критерий минимума смаза при заданном уровне
+
подавления шума. Возможность выбора KNV-окрестности позволяет учесть
+
априорную информацию о геометрических размерах деталей изображения, которые
+
необходимо сохранить; в свою очередь, выбор EV-окрестности позволяет
+
учитывать априорную информацию о дисперсии шума, который должен быть
+
устранен.
+
 
+
К числу нелинейных ранговых фильтров относятся многие известные алгоритмы, в
+
частности $\textit{сигма-фильтр}$ [$50$], [$164$]
+
$$
+
f^{\prime}_{ij} = {\rm MEAN(EV}(f_{ij})),
+
$$
+
где $\epsilon _{v} = 1,5\sigma $, а $\sigma $ -  параметр СКО
+
локальной статистики окна обработки, и $\textit{сигма-медианный}$ фильтр
+
$$
+
f^{\prime}_{ij}= {\rm MED(EV(}f_{ij})),
+
$$
+
причем, вообще говоря, отсечение отсчетов для усреднения может происходить
+
на любом уровне значимости $\alpha $: $\epsilon _{v}=\alpha \sigma $.
+
Таким образом, эти формулы охватывают случай $\alpha $ -  $\textit{усеченных фильтров}$ [$164$].
+
 
+
Эффективной разновидностью ранговых алгоритмов сглаживания является так
+
называемый $\textit{SNN-алгоритм}$. В этом алгоритме может быть применена любая схема
+
сигма-фильтрации. Однако выбор M-окрестности обработки ведется, исходя из
+
геометрических соображений, таким способом, что усредняемые отсчеты не могли
+
в силу геометрических свойств апертуры находиться по разные стороны от
+
границы возможного перепада яркости (края).
+
 
+
Заканчивая краткий обзор методов нелинейной ранговой фильтрации, можно отметить,
+
что этот класс алгоритмов имеет высокую способность к подавлению шумовой компоненты,
+
устойчив к различным видам шумов, допускает параллельную обработку информации и быстрые алгоритмы реализации.
+
 
+
$\textbf{"Быстрые" алгоритмы оконной фильтрации.}$
+
Ключевая идея ускорения вычислений при пространственной фильтрации
+
изображений заключается в использовании метода скользящего окна,
+
аналогичного известному методу вычисления "скользящих сумм", описанному,
+
например Хуангом [47]. Суть этого метода заключается в хранении
+
предвычисленных статистик по столбцам окна с последующим рекуррентным
+
вычитанием статистик "уходящих столбцов" и добавлением в общую статистику
+
статистик "приходящих" столбцов по ходу движения скользящего окна вдоль
+
строки изображения.
+
 
+
Рассмотрим этот метод на примере вычисления скользящего среднего
+
арифметического элементов S-окрестности (окна) $\Omega $ согласно следующей
+
формуле:
+
$$
+
s_l (x_l ,y_l )=\sum\limits_{x=-a}^a {\sum\limits_{y=-b}^b {g_l (x_l +x, y_l +y)} } ,\quad
+
(x_l ,y_l )\in \Omega .
+
$$
+
Непосредственное вычисление среднего в каждом положении окна на изображении
+
потребует порядка ${abLN}$ операций, где $a \times b$ -  размеры окна, $N\times L$ -
+
размеры изображения.
+
 
+
Введем теперь дополнительный массив для хранения сумм элементов столбцов,
+
принадлежащих текущему окну:
+
$$
+
sum(i)=\sum\limits_{y=-b}^b {g_l (x_l +x_i , y_l +y)}, \quad i=0,\ldots, 2a .
+
$$
+
Тогда по мере сдвига окна вправо по строке для перевычисления суммы
+
элементов окна достаточно всего лишь одного сложения и одного вычитания
+
элементов из $sum(i)$ (см. рис. 3)
+
 
+
\cFigure
+
{Алгоритм вычисления скользящей суммы с опорой на два столбца}3_dop
+
{7.64cm}{4.71cm}{PIC/pic3_dop.eps}
+
 
+
Вычислительная сложность такой операции будет порядка $\textit{bLN}$, то есть в $a$ раз
+
меньше, чем раньше.
+
 
+
Аналогичным образом можно осуществить и $\textit{вычисление ранговых статистик}$ (например, $\textit{медианы)}$ в скользящем окне.
+
Алгоритм имеет следующий вид.
+
 
+
# В крайнем левом положении окна в строке собрать гистограмму элементов
+
окна и вычислить значение медианы.
+
#  Сместить окно на один пиксел вправо.
+
# Обновить гистограмму: декрементировать значения ячеек, соответствующие
+
"уходящему" столбцу окна, инкрементировать значения ячеек, соответствующие
+
"приходящему" столбцу окна.
+
# Обновить значение медианы, двигаясь по гистограмме из предыдущего
+
положения до тех пор, пока сумма элементов справа не окажется больше или
+
равна сумме элементов слева.
+
 
+
 
+
При этом выигрыш во времени вычислений получается не только за счет того,
+
что исключается многократный опрос одних и тех же элементов окна, но и за
+
счет того, что исключается этап сортировки значений яркости в окне (так как
+
гистограмма и представляет собой уже упорядоченный массив значений яркости).
+
 
+
$\textbf{Минимаксная фильтрация.}$
+
Наряду с медианными фильтрами широко применяется метод минимаксной
+
фильтрации, использующий для обработки значения минимального и максимального
+
элементов вариационного ряда, построенного из отсчетов окна фильтра. При
+
наличии униполярного импульсного шума, характеризующегося либо
+
положительными, либо отрицательными выбросами из среднего уровня фоновой
+
составляющей, медианный фильтр может оказаться недостаточно надежным, когда
+
плотность шума высока и более половины пикселов окна обработки составляют
+
выбросы одинаковой полярности. Очевидный выход из этой ситуации -
+
использовать элемент минимального ранга для выбросов положительной
+
полярности и элемент максимального ранга для выбросов отрицательной
+
полярности. В этом случае шумовые импульсы удаляются даже при очень сильном
+
уровне засоренности. В то же время отдельное применение минимального и
+
максимального фильтра во многом аналогично действию операций сжатия и
+
расширения, рассмотренных выше, и приводят к искажению формы сигнала объекта.
+
Поэтому с целью сохранения формы полезного сигнала целесообразна
+
последовательная схема минимаксной фильтрации, состоящая из двух проходов по
+
изображению и обработки сначала минимальным (максимальным), а затем
+
максимальным (минимальным) рангом локальной статистики, что
+
увеличивает эффективность фильтрации и в случае биполярного
+
импульсного шума. Оптимальная последовательность, в которой следует выбирать
+
минимальную (максимальную) процедуру, определяется характеристиками входного
+
изображения: если неискаженное изображение состоит из ярких объектов на
+
темном фоне, то правильная последовательность min-max. Обратная процедура
+
справедлива для негативного изображения.
+
 
+
 
+
Сравнение минимаксной фильтрации с медианной может вестись в двух
+
направлениях: эффективности результатов фильтрации и требуемых
+
вычислительных затрат. При удалении шума минимаксный фильтр требует меньших
+
размеров апертур фильтра, чем медианный, но зато выполняет обработку в два
+
прохода (медианный за один). Однако сложность построения ранговой статистики
+
растет сверхлинейно с размером апертуры, ввиду этого минимаксный фильтр в
+
вычислительном аспекте представляется более предпочтительным. Учитывая, что
+
при организации процедуры фоновой нормализации удаление сигнала от объекта
+
требует для минимаксного фильтра меньших размеров апертуры, чем для
+
медианного (примерно вдвое), данный тип фильтра может обеспечить б ольшую
+
надежность нормализации при одних и тех же вычислительных затратах или
+
меньшую вычислительную нагрузку при одинаковом уровне надежности. Недостаток
+
минимаксного фильтра проявляется при обработке биполярного импульсного шума,
+
где он не дает какого-либо выигрыша по сравнению с медианным фильтром, и,
+
кроме того, процедура нормализации фона остается недостаточно эффективной
+
вследствие того, что ранговая обработка, хотя и в меньшей степени, чем
+
линейная, -  но все же искажает яркостно-геометрические свойства фона при
+
больших размерах апертуры.
+
 
+
\Section{Задача выделения объектов интереса}
+
Традиционные схемы обнаружения мелко- и среднеразмерных объектов на
+
изображениях заключались в проведении первоначальной яркостной сегментации
+
анализируемого изображения с целью установления "области интереса",
+
ограничивающей объект изображения, а затем использовании различных
+
признаковых описаний формы объекта для соотнесения найденных значений
+
признаков с их эталонными значениями [$20$], [$24$], [$28$], [$146$]. Различные
+
системы подобных признаков будут рассмотрены нами позднее.
+
 
+
К сожалению, при усложнении состава сцены, условий наблюдения и увеличении
+
шумовой компоненты для таких методов наблюдается существенный рост
+
вероятности аномальных ошибок обнаружения. Особенно это относится к простым
+
схемам яркостной сегментации по порогу, которые обычно использовались при
+
обнаружении области интереса или "носителя" объекта. Однако использование
+
методов нелинейной фильтрации непосредственно на этапе сегментации
+
изображения позволяет разительно повысить эффективность процедур выделения
+
мелко- и среднеразмерных объектов на цифровых изображениях.
+
 
+
$\textbf{Бинарные фильтры для выделения объектов}$.
+
 
+
Сгущение. Пусть выбрана апертура $\Omega _{ij} $. Определим некоторый фиксированный
+
параметр $N  (0<N\le n)$, где $n$ -  число пикселов в апертуре $\Omega
+
_{ij} $ (размер апертуры). Введем следующее ППР:
+
 
+
1) заполнить единицами всю апертуру, если число единиц в $\Omega _{ij} : k_1 \ge N$;
+
 
+
2) заполнить нулями всю апертуру, если число единиц в $\Omega _{ij} : k_1
+
<N$.
+
 
+
В зависимости от выбираемой формы $\Omega _{ij} $, величины апертуры $n$ и
+
выбора параметра сгущения $N$ этот фильтр может служить и для подавления
+
помех, и для поиска небольших объектов непосредственно в зашумленных
+
(неотфильтрованных предварительно) сценах.
+
 
+
Селекция с восстановлением.
+
Этот алгоритм есть в некотором смысле аналог алгоритма логической фильтрации
+
для выхода, формируемого, как в предыдущем случае
+
("сгущение"). Пусть выбрана апертура $\Omega _{ij} $ и фиксированы два
+
параметра селекции: верхнее граничное значение $N_2 $ $\left( {N_1 \le N_2 <n} \right)$ и
+
нижнее граничное значение $N_1 $ $\left( {0<N_1 \le N_2 } \right)$.
+
 
+
Пусть число единиц в апертуре $\Omega _{ij} $ равно $k_1 $. ППР этого
+
фильтра имеет следующий вид:
+
 
+
1) заполнить единицами всю апертуру, если $k_1 \ge N_2 $;
+
 
+
2) заполнить нулями всю апертуру, если $k_1 <N_1 $;
+
 
+
3) перенести на отфильтрованное изображение все пикселы апертуры без
+
изменений, если $N_1 \le k_1 <N_2 $.
+
 
+
Этот фильтр может одновременно выполнять и функцию подавления помех, и
+
функцию обнаружения мелкоразмерных объектов.
+
 
+
Селекция по площади.
+
Этот алгоритм напоминает предыдущий, однако имеет совершенно иное
+
назначение.
+
 
+
Пусть определены $\Omega _{ij} $ размера $n$ и параметры $N_1 $ и $N_2 $
+
$\left( {0<N_1 <N_2 \le n} \right)$. ППР имеет вид:
+
 
+
1) заполнить апертуру единицами, если $N_1 \le k_1 <N_2 $;
+
 
+
2) заполнить апертуру нулями, если $\left( {k_1 <N_1 } \right) \vee \left(
+
{k_1 \ge N_2 } \right)$.
+
 
+
Этот фильтр предназначен только для обнаружения мелкоразмерных объектов, а
+
также при определенном выборе $\Omega _{ij} $, $N_1 $ и $N_2 $ способен
+
выделять контуры крупных объектов на изображении. Для помеховой фильтрации
+
не применяется.
+
 
+
Пеленг.
+
Одной из важнейших характеристик фильтров является их быстродействие.
+
Очевидно, что время работы фильтра пропорционально числу опрашиваемых
+
элементов, т. е. размеру апертуры. Предположим, что нужно обнаружить на
+
изображении некоторый объект значительных размеров. Можно сделать это,
+
например, при помощи сгущения с соответствующей апертурой $\Omega $ и
+
значением $N$ или аналогично с помощью селекции с восстановлением или
+
селекции по площади. Однако размер апертуры $n$ в этом случае будет
+
пропорционален не линейному размеру искомого объекта, а его квадрату (рис. \refFigure{3_2_50}).
+
 
+
\cFigure
+
{Принцип действия фильтра "пеленг"}3_2_50
+
{7.69cm}{4.66cm}{PIC/pic3_2_50.eps}
+
 
+
Наиболее простое решение заключается в следующем. Выделим несколько
+
характерных направлений $l_1, \ldots , l_p $, по которым
+
искомый объект обладает наибольшей протяженностью, и расположим вдоль этих
+
направлений $p$ линейных апертур соответствующей длины $n_1,\ldots , n_p $.
+
Теперь для обнаружения объекта достаточно объявить
+
частные решения по каждой из апертур.
+
 
+
В данной реализации фильтра выбраны четыре направления, два -  параллельные
+
осям $i$ и $j$ (направления $l_1 $ и $l_2 )$, и два -  вдоль направлений
+
под $45^{\circ}$ к осям $i$ и $j$ (направления $l_3 $ и $l_4 )$, как показано на рис. \refFigure{3_2_50}\textit{б}. Пусть длина апертуры
+
по направлению $l_1 $ равна $n_1 $, по направлению $l_2 $ равна $n_2 $, по
+
направлению $l_3 $ равна
+
$n_3 $ и по направлению $l_4 $ равна $n_4 $. Пусть фиксированы также $k_1 $,
+
$k_2 $, $k_3 $, $k_4 $ ($0<k_1 \le n_1$, $0<k_2 \le n_2 $, $0<k_3 \le n_3 ,$ $0<k_4 \le n_4$).
+
Тогда для пеленгующего фильтра ППР примет вид
+
$$
+
y_{ij} =
+
\begin{cases}
+
1, & \mbox{если} \cr
+
\quad & \mbox{ (число единиц в апертуре }n_1 \ge k_1 ) \wedge \cr
+
\quad & \wedge \mbox{ (число единиц в апертуре }n_2 \ge k_2 ) \wedge \cr
+
\quad & \wedge \mbox{ (число единиц в апертуре }n_3 \ge k_3  ) \wedge \cr
+
\quad & \wedge \mbox{ (число единиц в апертуре }n_4 \ge k_4 ); \cr
+
0,& \mbox{если не выполняется предыдущее условие}.
+
\end{cases}
+
$$
+
 
+
Согласно с ППР, если найден объект на обрабатываемом изображении, то на
+
выходном изображении устанавливается в "1" только лишь один пиксел,
+
соответствующий базовому пикселу (комбинированной апертуры) на
+
обрабатываемом изображении.
+
 
+
Таким образом, пеленг в каком-то смысле является логической комбинацией
+
процентильных фильтров. Возможны и другие варианты таких логических
+
комбинаций.
+
 
+
Пеленг с окаймлением.
+
Этот алгоритм служит для случая, когда на изображении могут присутствовать
+
объекты еще большего размера, чем искомый. Тогда пеленгующий фильтр
+
сработает во всех точках объектов (не являющихся искомыми), таких что его
+
апертуры целиком поместятся на объекте (рис. 51).
+
 
+
Поэтому необходимо добавить еще одно условие, которое ограничивало бы размер
+
обнаруживаемого объекта сверху. Эта можно сделать, добавив в ППР еще один
+
процентильный фильтр, но с решением по нулю для апертуры в виде описанной
+
рамки-окаймления, как это сделано на рис. 5}$\textit{б}$. Пусть фиксировано $k_{\textrm{ок}} $
+
$\left( {0<k_{\textrm {ок}} \le n_{\textrm{ок}} } \right)$, $n_{\textrm{ок}} $  -  число пикселов в
+
окаймлении. ППР для пеленга с окаймлением будет иметь вид
+
$$y_{ij} =
+
\begin{cases}
+
1,&{ \textrm {если} }\left( {\textrm {сработал пеленг}} \right)\wedge \left(
+
{\textrm {число нулей в окаймлении }k_0 \ge n_{\textrm{ок}} +1-k_{\textrm{ок}} } \right); \cr
+
0,&{ \textrm {в противном случае}}.
+
\end{cases}
+
$$
+
Пеленг с окаймлением гарантирует, что обнаруженный на зашумленном
+
изображении объект является изолированным объектом, а не частью большего
+
поля единиц.
+
 
+
\cFigure
+
{Принцип действия фильтра "пеленг с окаймлением"}3_2_51
+
{7.2cm}{3.96cm}{PIC/pic3_2_51.eps}
+
 
+
$\textbf{Метод нормализации фона.}$
+
Метод$ \textit{нормализации фона}$ был разработан для обнаружения малоразмерных объектов на полутоновых
+
изображениях в составе сложных сцен и в присутствии интенсивных шумов. Он
+
основан на использовании $\textit{селектирующих}$ свойств нелинейных оконных фильтров [164].
+
 
+
Как уже упоминалось выше, медианный фильтр с апертурой площадью $2M + 1$
+
эффективно подавляет локальные области с линейным площадью менее $M$ пикселов. Таким
+
образом, возникает чрезвычайно важная практическая возможность
+
комбинированной обработки при обнаружении малых площадных объектов,
+
заключающаяся в устранении как импульсного шума, так и неоднородного фона за
+
счет применения сочетания медианных фильтров разного размера апертуры (рис. 52).
+
 
+
На первом шаге здесь применяется обработка фильтром малой апертуры $\mbox{($3\times
+
3 ) \div ( 5 \times 5$)}$ для устранения импульсного шума. Затем
+
осуществляется обработка фильтром большой размерности (например $35\times 35$),
+
оставляющая на изображении только фон и подавляющая полезный сигнал от
+
объекта. На завершающем этапе производится вычитание из изображения,
+
полученного на первом шаге, карты фона, полученной на втором шаге. Таким
+
образом, окончательное обнаружение объекта сводится к хорошо изученным
+
процедурам сегментации по яркости. Данный прием получил в теории название
+
$\textit{нормализации фона}$ и позволяет обеспечить обнаружение сигнала от объекта даже при очень малых
+
соотношениях сигнал/шум ($<1$), однако его практическое применение
+
сдерживается необходимостью достижения высокой производительности
+
вычислительной техники, так как требуемый объем операций растет
+
пропорционально квадрату размера апертуры.
+
 
+
Как видно из примера рис. 53 - 55, в зависимости от того, какую
+
последовательность фильтров мы выберем, метод нормализации фона может
+
выделять объекты "положительного" или "отрицательного" контраста.
+
 
+
\cFigure
+
{Выделение объектов по схеме "нормализация фона"}3_2_52
+
{7.44cm}{10.8cm}{PIC/pic3_2_52.eps}
+
 
+
\begin{cFigures}
+
\Figure
+
{Исходное изображение}3_2_53
+
[t]{4.2cm}{4.2cm}{PIC/pic3_2_53.eps}\quad
+
\Figure
+
{Результат нормализации фона с параметрами ($3,3,31,31$)}3_2_54
+
[t]{4.2cm}{4.2cm}{PIC/pic3_2_54.eps}\quad
+
\Figure
+
{Результат нормализации фона с параметрами ($31,31,3,3$)}3_2_55
+
[t]{4.2cm}{4.2cm}{PIC/pic3_2_55.eps}
+
\end{cFigures}
+
 
+
 
+
Классическая процедура нормализации фона, являясь эффективным методом
+
обнаружения простых объектов по признакам размера, может быть развита и
+
усилена за счет применения морфологических (ММ Серра) методов обработки,
+
которые позволяют строить обнаружение объектов также по априорным данным об
+
их яркостно-геометрической структуре (модели). Процедуры математической
+
морфологии Серра будут подробно рассмотрены в главе 6.
+
 
+
[[Литература для самостоятельного изучения]]
+
В книге ($\textit{Гонсалес, Вудс}$) [19] фильтрации изображений посвящен ряд разделов главы 3 и глава
+
5. В главе 3 фильтрация рассматривается как один способов "улучшения
+
изображения" в некотором общем смысле. В главе 5 рассматривается задача
+
восстановления изображения, искаженного помехами, имеющими некоторую
+
заданную модель. При этом, помимо рассматриваемой нами здесь достаточно
+
наивной модели "пиксельного шума", рассматриваются также другие,
+
достаточно сложные и содержательные модели искажений. Линейные и нелинейные
+
методы фильтрации при таком изложении смешаны достаточно произвольным
+
образом, зато возникает существенно более полное представление о задаче
+
восстановления изображения.
+

Версия 02:59, 16 июля 2020

Подробнее

  1. Задача фильтрации изображений
  2. Фильтрация бинарных изображений
  3. Нелинейная фильтрация полутоновых изображений
  4. Литература для самостоятельного изучения 4
Личные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты