Морфологический спектр

Материал из Техническое зрение
(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «В различных областях, связанных с передачей и обработкой сигналов, нашли широкое примен…»)
 
Строка 6: Строка 6:
 
скелетизации изображения, давно и плодотворно используемой как в ММ, так и в
 
скелетизации изображения, давно и плодотворно используемой как в ММ, так и в
 
других методах преобразования и распознавания изображений.
 
других методах преобразования и распознавания изображений.
 +
 +
==Преобразование Фурье==
  
 
Рассмотрим с самых общих позиций преобразование Фурье. Оно содержит два
 
Рассмотрим с самых общих позиций преобразование Фурье. Оно содержит два
Строка 13: Строка 15:
 
#Измерение площади под этим модифицированным сигналом $S(t)e^{-i{\omega}t}$.
 
#Измерение площади под этим модифицированным сигналом $S(t)e^{-i{\omega}t}$.
  
Можно считать $e^{-i{\omega}t}$ некоторым <<пробным образом>>, зависящим
+
Можно считать $e^{-i{\omega}t}$ некоторым "пробным образом", зависящим
 
от частотного параметра ${\omega}$ и выделяющим некоторую информацию (спектральный
 
от частотного параметра ${\omega}$ и выделяющим некоторую информацию (спектральный
 
состав) из сигнала путем модуляции и последующего измерения преобразованного сигнала.
 
состав) из сигнала путем модуляции и последующего измерения преобразованного сигнала.
Причем собственной спектральной характеристикой <<пробного образа>> является
+
Причем собственной спектральной характеристикой "пробного образа" является
 
импульс на соответствующей частоте ${\omega}$. Рассмотрим следующие аналогии:
 
импульс на соответствующей частоте ${\omega}$. Рассмотрим следующие аналогии:
# ${S(t) }\to {X }$~--- двумерный образ;
+
# ${S(t) }\to {X }$ - двумерный образ;
# $e^{-i{\omega}t}\to B_n $~--- двумерный структурирующий элемент размера (масштаба) $n$;
+
# $e^{-i{\omega}t}\to B_n $ - двумерный структурирующий элемент размера (масштаба) $n$;
# ${\omega}\to n $~--- размерный (масштабный) параметр;
+
# ${\omega}\to n $ - размерный (масштабный) параметр;
 
# частотная модуляция $\to $ морфологическая фильтрация (открытие/закрытие) c использованием структурирующего элемента $B_{n}$ размером $n$.
 
# частотная модуляция $\to $ морфологическая фильтрация (открытие/закрытие) c использованием структурирующего элемента $B_{n}$ размером $n$.
  
Строка 36: Строка 38:
 
где умножение двумерной точки \textbf{b} на скаляр $r$ понимается как умножение
 
где умножение двумерной точки \textbf{b} на скаляр $r$ понимается как умножение
 
на этот скаляр каждой из ее координат. Очевидно, форма $rB$ повторяет форму $B$. Рассмотрим компактное (связное)
 
на этот скаляр каждой из ее координат. Очевидно, форма $rB$ повторяет форму $B$. Рассмотрим компактное (связное)
бинарное изображение $X\subseteq R^2$. Определим образовый спектр (pattern
+
бинарное изображение $X\subseteq R^2$.  
 +
 
 +
==Образовый спектр==
 +
 
 +
Определим образовый спектр (pattern
 
spectrum) множества $X$ относительно выпуклого множества $B\subseteq R^2$ как
 
spectrum) множества $X$ относительно выпуклого множества $B\subseteq R^2$ как
 
функцию
 
функцию
Строка 53: Строка 59:
 
\end{gather}
 
\end{gather}
  
где $A(X)$~--- площадь $X$, и выражения \refEquation{6.1.4} и \refEquation{6.1.5} задают спектр
+
где $A(X)$ - площадь $X$, и выражения (1) и (2) задают спектр
 
соответственно на положительной и отрицательной частях оси $r$.
 
соответственно на положительной и отрицательной частях оси $r$.
  
Строка 63: Строка 69:
 
</center>
 
</center>
  
Пусть $rB$ есть $rD$~--- диск радиуса $r$. Убедимся в том, что спектральной
+
Пусть $rB$ есть $rD$ - диск радиуса $r$. Убедимся в том, что спектральной
 
характеристикой $rD$ является импульс в точке $r$ (как спектром $e^{-iwt}$ является импульс в точке $W$).
 
характеристикой $rD$ является импульс в точке $r$ (как спектром $e^{-iwt}$ является импульс в точке $W$).
 
В самом деле, так как
 
В самом деле, так как
$X = rD$~--- компактный диск, то существует максимальное $p > 0$ такое, что
+
$X = rD$ - компактный диск, то существует максимальное $p > 0$ такое, что
 
$X\circ rB=0\forall r>p$. При $0 < r < p$ имеем $X\circ rB=X$.
 
$X\circ rB=0\forall r>p$. При $0 < r < p$ имеем $X\circ rB=X$.
 
Следовательно, функция $A(X\circ rB)$ является ступенчатой и ее производная
 
Следовательно, функция $A(X\circ rB)$ является ступенчатой и ее производная
Строка 74: Строка 80:
 
относительно $rB$.
 
относительно $rB$.
  
 +
==Виды информации в спектре==
  
 
Морфологический спектр содержит наряду с другими четыре основных вида
 
Морфологический спектр содержит наряду с другими четыре основных вида
 
информации об образе $X$:
 
информации об образе $X$:
# неровность (шероховатость) поверхности относительно $B$, которой соответствует нижняя часть спектра ($r$~--- мало);
+
# неровность (шероховатость) поверхности относительно $B$, которой соответствует нижняя часть спектра ($r$ - мало);
 
# существование длинных мысов или больших выступающих частей границы, содержащих $sB$, показывает наличие изолированных импульсов при $r = s$;
 
# существование длинных мысов или больших выступающих частей границы, содержащих $sB$, показывает наличие изолированных импульсов при $r = s$;
 
# $B$-формность ($B$-образие) $X$, то есть максимальная степень содержания $B$ в $X$ может быть измерена с помощью $PS_{x}(p,B)/A(x)$;
 
# $B$-формность ($B$-образие) $X$, то есть максимальная степень содержания $B$ в $X$ может быть измерена с помощью $PS_{x}(p,B)/A(x)$;
Строка 85: Строка 92:
 
спектра разработанную в ИИТ систему определения подлинности
 
спектра разработанную в ИИТ систему определения подлинности
 
металлографской печати ценных бумаг на основе критерия наличия
 
металлографской печати ценных бумаг на основе критерия наличия
металлографских <<усиков>>. Разработанная методика обработки цифровых
+
металлографских "усиков". Разработанная методика обработки цифровых
 
изображений металлографской печати с целью автоматического выделения и
 
изображений металлографской печати с целью автоматического выделения и
оценки качества металлографских <<усиков>> основывается на выделении
+
оценки качества металлографских "усиков" основывается на выделении
характеристик <<негладкости>> (<<дымчатости>>) контуров наблюдаемых
+
характеристик "негладкости" ("дымчатости") контуров наблюдаемых
графических элементов. Качественный смысл указанной <<негладкости>> контуров
+
графических элементов. Качественный смысл указанной "негладкости" контуров
 
виден из сравнения фрагментов микроскопических изображений подлинной и
 
виден из сравнения фрагментов микроскопических изображений подлинной и
 
фальшивой акцизных марок.
 
фальшивой акцизных марок.
Строка 105: Строка 112:
 
имеют существенно менее гладкие контура, чем графические элементы ее
 
имеют существенно менее гладкие контура, чем графические элементы ее
 
имитации (справа). Однако, для того чтобы построить систему их
 
имитации (справа). Однако, для того чтобы построить систему их
автоматического различения, интуитивное понятие <<негладкости контуров>>
+
автоматического различения, интуитивное понятие "негладкости контуров"
 
необходимо было математически формализовать. Соответствующая процедура была
 
необходимо было математически формализовать. Соответствующая процедура была
 
реализована в рамках формализма математической морфологии Серра.
 
реализована в рамках формализма математической морфологии Серра.
 +
 +
==Этапы морфологического анализа изображений==
  
 
Рассмотрим последовательные этапы морфологического анализа изображений
 
Рассмотрим последовательные этапы морфологического анализа изображений
Строка 126: Строка 135:
  
 
</center>
 
</center>
 +
 +
==Фрактальность==
  
 
В результате морфологического анализа изображения подделки выделились лишь
 
В результате морфологического анализа изображения подделки выделились лишь
самые крупные <<наплывы>> контура. Между тем, на изображении подлинной
+
самые крупные "наплывы" контура. Между тем, на изображении подлинной
 
металлографии выделилось значительное количество более мелких неровностей
 
металлографии выделилось значительное количество более мелких неровностей
контура различного размера. Именно это свойство <<фрактальности>> (т.\:е.
+
контура различного размера. Именно это свойство "фрактальности" (т.е. самоподобия неровности контура при сохранении случайного характера этих
самоподобия неровности контура при сохранении случайного характера этих
+
 
отклонений) и является отличительной чертой контура элементов подлинной
 
отклонений) и является отличительной чертой контура элементов подлинной
 
металлографии по сравнению с ее имитацией, искусственно воспроизводящей
 
металлографии по сравнению с ее имитацией, искусственно воспроизводящей
Строка 145: Строка 155:
 
морфологического спектра для создания программно-аппаратных средств для
 
морфологического спектра для создания программно-аппаратных средств для
 
определения подлинности металлографской печати на основе применения критерия
 
определения подлинности металлографской печати на основе применения критерия
наличия металлографских <<усиков>>.
+
наличия металлографских "усиков".
  
 
<center>
 
<center>
Строка 160: Строка 170:
  
 
</center>
 
</center>
 +
 +
 +
==Полезные ссылки==
 +
 +
#[[#top| &#9757; К началу ]]
 +
#[[Математическая морфология|&#9756; Математическая морфология (по Ж. Серра)]]

Версия 17:25, 30 июня 2022

В различных областях, связанных с передачей и обработкой сигналов, нашли широкое применение спектральные подходы, основанные на преобразовании Фурье. В работах П.,Марагоса по аналогии с преобразованием Фурье вводится представление изображения в виде форморазмерного спектра, вычисляемого при помощи операций морфологии. Интересна также непосредственная связь введенных спектров с операцией скелетизации изображения, давно и плодотворно используемой как в ММ, так и в других методах преобразования и распознавания изображений.

Содержание

Преобразование Фурье

Рассмотрим с самых общих позиций преобразование Фурье. Оно содержит два этапа:

  1. Умножение одномерного сигнала $S(t)$ на комплексную синусоиду $e^{-i{\omega}t}$;
  2. Измерение площади под этим модифицированным сигналом $S(t)e^{-i{\omega}t}$.

Можно считать $e^{-i{\omega}t}$ некоторым "пробным образом", зависящим от частотного параметра ${\omega}$ и выделяющим некоторую информацию (спектральный состав) из сигнала путем модуляции и последующего измерения преобразованного сигнала. Причем собственной спектральной характеристикой "пробного образа" является импульс на соответствующей частоте ${\omega}$. Рассмотрим следующие аналогии:

  1. ${S(t) }\to {X }$ - двумерный образ;
  2. $e^{-i{\omega}t}\to B_n $ - двумерный структурирующий элемент размера (масштаба) $n$;
  3. ${\omega}\to n $ - размерный (масштабный) параметр;
  4. частотная модуляция $\to $ морфологическая фильтрация (открытие/закрытие) c использованием структурирующего элемента $B_{n}$ размером $n$.

Далее для простоты будем рассматривать непрерывный бинарный случай, хотя все вводимые понятия распространены на дискретный бинарный и непрерывный полутоновый случаи. Введем понятие размера множества $B$ (заметим, что это понятие отличается от понятия размера, приведенного ранее). Пусть на плоскости $R^{2}$ дано некоторое выпуклое множество $B$, размер которого считается единичным. Тогда множество $rB$, имеющее относительно $B$ размер $r$ ($r\in R)$, определяется как $$ rB= \{r\textbf{b} \,\vert\, \textbf{b}\in B\}, \quad r\ge 0 , $$ где умножение двумерной точки \textbf{b} на скаляр $r$ понимается как умножение на этот скаляр каждой из ее координат. Очевидно, форма $rB$ повторяет форму $B$. Рассмотрим компактное (связное) бинарное изображение $X\subseteq R^2$.

Образовый спектр

Определим образовый спектр (pattern spectrum) множества $X$ относительно выпуклого множества $B\subseteq R^2$ как функцию


\begin{gather}\tag{1} PS_x (r,B)=\frac{-dA(X\circ rB)}{dr},\quad r\ge 0, \end{gather}

\begin{gather}\tag{2} PS_x (-r,B)=\frac{dA(X\bullet rB)}{dr},\quad r>0, \end{gather}

где $A(X)$ - площадь $X$, и выражения (1) и (2) задают спектр соответственно на положительной и отрицательной частях оси $r$.

6-1-18.jpg

Рис. 18 Морфологический спектр с круглым структурирующим элементом и последовательные этапы морфологической обработки при его построении

Пусть $rB$ есть $rD$ - диск радиуса $r$. Убедимся в том, что спектральной характеристикой $rD$ является импульс в точке $r$ (как спектром $e^{-iwt}$ является импульс в точке $W$). В самом деле, так как $X = rD$ - компактный диск, то существует максимальное $p > 0$ такое, что $X\circ rB=0\forall r>p$. При $0 < r < p$ имеем $X\circ rB=X$. Следовательно, функция $A(X\circ rB)$ является ступенчатой и ее производная имеет один $\delta $-импульс в точке $r = p$. Физический смысл спектра легко понять, если учесть, что $X\circ rB=\mathop\cup\limits_{rB\in X} rB$ (см. выше). Это означает, что $A(X\circ rB)$ есть мера содержания $X$ относительно $rB$.

Виды информации в спектре

Морфологический спектр содержит наряду с другими четыре основных вида информации об образе $X$:

  1. неровность (шероховатость) поверхности относительно $B$, которой соответствует нижняя часть спектра ($r$ - мало);
  2. существование длинных мысов или больших выступающих частей границы, содержащих $sB$, показывает наличие изолированных импульсов при $r = s$;
  3. $B$-формность ($B$-образие) $X$, то есть максимальная степень содержания $B$ в $X$ может быть измерена с помощью $PS_{x}(p,B)/A(x)$;
  4. отрицательная часть $r$-оси демонстрирует наличие больших импульсов, если существует значительная вогнутость (впадины или дыры) в $X$.

Рассмотрим в качестве примера практического приложения морфологического спектра разработанную в ИИТ систему определения подлинности металлографской печати ценных бумаг на основе критерия наличия металлографских "усиков". Разработанная методика обработки цифровых изображений металлографской печати с целью автоматического выделения и оценки качества металлографских "усиков" основывается на выделении характеристик "негладкости" ("дымчатости") контуров наблюдаемых графических элементов. Качественный смысл указанной "негладкости" контуров виден из сравнения фрагментов микроскопических изображений подлинной и фальшивой акцизных марок.

6-1-19.jpg

Рис. 19 Графические элементы подлинной металлографии (слева) и ее имитации (справа) на микроскопических изображениях сходных фрагментов

Как видно из рисунка, графические элементы подлинной металлографии (слева) имеют существенно менее гладкие контура, чем графические элементы ее имитации (справа). Однако, для того чтобы построить систему их автоматического различения, интуитивное понятие "негладкости контуров" необходимо было математически формализовать. Соответствующая процедура была реализована в рамках формализма математической морфологии Серра.

Этапы морфологического анализа изображений

Рассмотрим последовательные этапы морфологического анализа изображений подлинной металлографии (слева) и ее имитации (справа).

6-1-20.jpg

Рис. 20 Результат бинаризации микроскопических изображений сходных фрагментов подлинной металлографии (слева) и ее имитации (справа)

6-1-21.jpg

Рис. 21 Результат морфологического выделения края с дисковым структурирующим элементом для фрагментов подлинной металлографии (слева) и ее имитации (справа)

Фрактальность

В результате морфологического анализа изображения подделки выделились лишь самые крупные "наплывы" контура. Между тем, на изображении подлинной металлографии выделилось значительное количество более мелких неровностей контура различного размера. Именно это свойство "фрактальности" (т.е. самоподобия неровности контура при сохранении случайного характера этих отклонений) и является отличительной чертой контура элементов подлинной металлографии по сравнению с ее имитацией, искусственно воспроизводящей неровности только самого крупного размера, что как раз и может быть математически формализовано в рамках теории морфологического спектра.


Рассмотрим результаты построения морфологического спектра для случая подлинных и фальшивых изображений (рис. 22 и рис. 23). Морфологический спектр фрагмента подлинной металлографии достаточно однороден, в то время как на морфологическом спектре фрагмента подделки наблюдается явное преобладание крупных деталей. Это позволяет использовать критерии на базе морфологического спектра для создания программно-аппаратных средств для определения подлинности металлографской печати на основе применения критерия наличия металлографских "усиков".

6-1-22.jpg

Рис. 22 Морфологический спектр фрагмента подлинной марки с металлографскими усиками

6-1-23.jpg

Рис. 23 Морфологический спектр фрагмента поддельной марки с имитацией металлографских усиков


Полезные ссылки

  1. ☝ К началу
  2. ☜ Математическая морфология (по Ж. Серра)
Личные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты