Морфологический спектр
JIoku (обсуждение | вклад) (Новая страница: «В различных областях, связанных с передачей и обработкой сигналов, нашли широкое примен…») |
JIoku (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
В различных областях, связанных с передачей и обработкой сигналов, нашли | В различных областях, связанных с передачей и обработкой сигналов, нашли | ||
| − | широкое применение спектральные подходы, основанные на преобразовании Фурье. В работах П. | + | широкое применение спектральные подходы, основанные на преобразовании Фурье. В работах П.Марагоса по аналогии с |
преобразованием Фурье вводится представление изображения в виде | преобразованием Фурье вводится представление изображения в виде | ||
| − | форморазмерного спектра, вычисляемого при помощи операций морфологии. | + | форморазмерного спектра, вычисляемого при помощи операций математической морфологии Серра. |
Интересна также непосредственная связь введенных спектров с операцией | Интересна также непосредственная связь введенных спектров с операцией | ||
скелетизации изображения, давно и плодотворно используемой как в ММ, так и в | скелетизации изображения, давно и плодотворно используемой как в ММ, так и в | ||
других методах преобразования и распознавания изображений. | других методах преобразования и распознавания изображений. | ||
| + | |||
| + | ==Структура преобразования Фурье== | ||
Рассмотрим с самых общих позиций преобразование Фурье. Оно содержит два | Рассмотрим с самых общих позиций преобразование Фурье. Оно содержит два | ||
| Строка 13: | Строка 15: | ||
#Измерение площади под этим модифицированным сигналом $S(t)e^{-i{\omega}t}$. | #Измерение площади под этим модифицированным сигналом $S(t)e^{-i{\omega}t}$. | ||
| − | Можно считать $e^{-i{\omega}t}$ некоторым | + | Можно считать $e^{-i{\omega}t}$ некоторым "пробным образом", зависящим |
от частотного параметра ${\omega}$ и выделяющим некоторую информацию (спектральный | от частотного параметра ${\omega}$ и выделяющим некоторую информацию (спектральный | ||
состав) из сигнала путем модуляции и последующего измерения преобразованного сигнала. | состав) из сигнала путем модуляции и последующего измерения преобразованного сигнала. | ||
| − | Причем собственной спектральной характеристикой | + | Причем собственной спектральной характеристикой "пробного образа" является |
импульс на соответствующей частоте ${\omega}$. Рассмотрим следующие аналогии: | импульс на соответствующей частоте ${\omega}$. Рассмотрим следующие аналогии: | ||
| − | # ${S(t) }\to {X }$ | + | # ${S(t) }\to {X }$ - двумерный образ; |
| − | # $e^{-i{\omega}t}\to B_n $ | + | # $e^{-i{\omega}t}\to B_n $ - двумерный структурирующий элемент размера (масштаба) $n$; |
| − | # ${\omega}\to n $ | + | # ${\omega}\to n $ - размерный (масштабный) параметр; |
# частотная модуляция $\to $ морфологическая фильтрация (открытие/закрытие) c использованием структурирующего элемента $B_{n}$ размером $n$. | # частотная модуляция $\to $ морфологическая фильтрация (открытие/закрытие) c использованием структурирующего элемента $B_{n}$ размером $n$. | ||
| Строка 34: | Строка 36: | ||
r\ge 0 , | r\ge 0 , | ||
$$ | $$ | ||
| − | где умножение двумерной точки \textbf{b} на скаляр $r$ понимается как умножение | + | где умножение двумерной точки $\textbf{b}$ на скаляр $r$ понимается как умножение |
на этот скаляр каждой из ее координат. Очевидно, форма $rB$ повторяет форму $B$. Рассмотрим компактное (связное) | на этот скаляр каждой из ее координат. Очевидно, форма $rB$ повторяет форму $B$. Рассмотрим компактное (связное) | ||
| − | бинарное изображение $X\subseteq R^2$. Определим образовый спектр (pattern | + | бинарное изображение $X\subseteq R^2$. |
| + | |||
| + | ==Образовый спектр Марагоса== | ||
| + | |||
| + | Определим образовый спектр (pattern | ||
spectrum) множества $X$ относительно выпуклого множества $B\subseteq R^2$ как | spectrum) множества $X$ относительно выпуклого множества $B\subseteq R^2$ как | ||
функцию | функцию | ||
| Строка 53: | Строка 59: | ||
\end{gather} | \end{gather} | ||
| − | где $A(X)$ | + | где $A(X)$ - площадь $X$, и выражения (1) и (2) задают спектр |
соответственно на положительной и отрицательной частях оси $r$. | соответственно на положительной и отрицательной частях оси $r$. | ||
| Строка 63: | Строка 69: | ||
</center> | </center> | ||
| − | Пусть $rB$ есть $rD$ | + | Пусть $rB$ есть $rD$ - диск радиуса $r$. Убедимся в том, что спектральной |
характеристикой $rD$ является импульс в точке $r$ (как спектром $e^{-iwt}$ является импульс в точке $W$). | характеристикой $rD$ является импульс в точке $r$ (как спектром $e^{-iwt}$ является импульс в точке $W$). | ||
В самом деле, так как | В самом деле, так как | ||
| − | $X = rD$ | + | $X = rD$ - компактный диск, то существует максимальное $p > 0$ такое, что |
$X\circ rB=0\forall r>p$. При $0 < r < p$ имеем $X\circ rB=X$. | $X\circ rB=0\forall r>p$. При $0 < r < p$ имеем $X\circ rB=X$. | ||
Следовательно, функция $A(X\circ rB)$ является ступенчатой и ее производная | Следовательно, функция $A(X\circ rB)$ является ступенчатой и ее производная | ||
| Строка 74: | Строка 80: | ||
относительно $rB$. | относительно $rB$. | ||
| + | ==Виды информации в спектре== | ||
Морфологический спектр содержит наряду с другими четыре основных вида | Морфологический спектр содержит наряду с другими четыре основных вида | ||
информации об образе $X$: | информации об образе $X$: | ||
| − | # неровность (шероховатость) поверхности относительно $B$, которой соответствует нижняя часть спектра ($r$ | + | # неровность (шероховатость) поверхности относительно $B$, которой соответствует нижняя часть спектра ($r$ - мало); |
# существование длинных мысов или больших выступающих частей границы, содержащих $sB$, показывает наличие изолированных импульсов при $r = s$; | # существование длинных мысов или больших выступающих частей границы, содержащих $sB$, показывает наличие изолированных импульсов при $r = s$; | ||
# $B$-формность ($B$-образие) $X$, то есть максимальная степень содержания $B$ в $X$ может быть измерена с помощью $PS_{x}(p,B)/A(x)$; | # $B$-формность ($B$-образие) $X$, то есть максимальная степень содержания $B$ в $X$ может быть измерена с помощью $PS_{x}(p,B)/A(x)$; | ||
# отрицательная часть $r$-оси демонстрирует наличие больших импульсов, если существует значительная вогнутость (впадины или дыры) в $X$. | # отрицательная часть $r$-оси демонстрирует наличие больших импульсов, если существует значительная вогнутость (впадины или дыры) в $X$. | ||
| − | + | ==Полезные ссылки== | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | #[[#top| ☝ К началу ]] | |
| − | + | #[[Математическая морфология|☜ Математическая морфология (по Ж. Серра)]] | |
| − | [[ | + | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | [[ | + | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
Текущая версия на 01:46, 29 мая 2022
В различных областях, связанных с передачей и обработкой сигналов, нашли широкое применение спектральные подходы, основанные на преобразовании Фурье. В работах П.Марагоса по аналогии с преобразованием Фурье вводится представление изображения в виде форморазмерного спектра, вычисляемого при помощи операций математической морфологии Серра. Интересна также непосредственная связь введенных спектров с операцией скелетизации изображения, давно и плодотворно используемой как в ММ, так и в других методах преобразования и распознавания изображений.
Содержание |
[править] Структура преобразования Фурье
Рассмотрим с самых общих позиций преобразование Фурье. Оно содержит два этапа:
- Умножение одномерного сигнала $S(t)$ на комплексную синусоиду $e^{-i{\omega}t}$;
- Измерение площади под этим модифицированным сигналом $S(t)e^{-i{\omega}t}$.
Можно считать $e^{-i{\omega}t}$ некоторым "пробным образом", зависящим от частотного параметра ${\omega}$ и выделяющим некоторую информацию (спектральный состав) из сигнала путем модуляции и последующего измерения преобразованного сигнала. Причем собственной спектральной характеристикой "пробного образа" является импульс на соответствующей частоте ${\omega}$. Рассмотрим следующие аналогии:
- ${S(t) }\to {X }$ - двумерный образ;
- $e^{-i{\omega}t}\to B_n $ - двумерный структурирующий элемент размера (масштаба) $n$;
- ${\omega}\to n $ - размерный (масштабный) параметр;
- частотная модуляция $\to $ морфологическая фильтрация (открытие/закрытие) c использованием структурирующего элемента $B_{n}$ размером $n$.
Далее для простоты будем рассматривать непрерывный бинарный случай, хотя все вводимые понятия распространены на дискретный бинарный и непрерывный полутоновый случаи. Введем понятие размера множества $B$ (заметим, что это понятие отличается от понятия размера, приведенного ранее). Пусть на плоскости $R^{2}$ дано некоторое выпуклое множество $B$, размер которого считается единичным. Тогда множество $rB$, имеющее относительно $B$ размер $r$ ($r\in R)$, определяется как $$ rB= \{r\textbf{b} \,\vert\, \textbf{b}\in B\}, \quad r\ge 0 , $$ где умножение двумерной точки $\textbf{b}$ на скаляр $r$ понимается как умножение на этот скаляр каждой из ее координат. Очевидно, форма $rB$ повторяет форму $B$. Рассмотрим компактное (связное) бинарное изображение $X\subseteq R^2$.
[править] Образовый спектр Марагоса
Определим образовый спектр (pattern spectrum) множества $X$ относительно выпуклого множества $B\subseteq R^2$ как функцию
\begin{gather}\tag{1}
PS_x (r,B)=\frac{-dA(X\circ rB)}{dr},\quad r\ge 0,
\end{gather}
\begin{gather}\tag{2} PS_x (-r,B)=\frac{dA(X\bullet rB)}{dr},\quad r>0, \end{gather}
где $A(X)$ - площадь $X$, и выражения (1) и (2) задают спектр соответственно на положительной и отрицательной частях оси $r$.
Рис. 18 Морфологический спектр с круглым структурирующим элементом и последовательные этапы морфологической обработки при его построении
Пусть $rB$ есть $rD$ - диск радиуса $r$. Убедимся в том, что спектральной характеристикой $rD$ является импульс в точке $r$ (как спектром $e^{-iwt}$ является импульс в точке $W$). В самом деле, так как $X = rD$ - компактный диск, то существует максимальное $p > 0$ такое, что $X\circ rB=0\forall r>p$. При $0 < r < p$ имеем $X\circ rB=X$. Следовательно, функция $A(X\circ rB)$ является ступенчатой и ее производная имеет один $\delta $-импульс в точке $r = p$. Физический смысл спектра легко понять, если учесть, что $X\circ rB=\mathop\cup\limits_{rB\in X} rB$ (см. выше). Это означает, что $A(X\circ rB)$ есть мера содержания $X$ относительно $rB$.
[править] Виды информации в спектре
Морфологический спектр содержит наряду с другими четыре основных вида информации об образе $X$:
- неровность (шероховатость) поверхности относительно $B$, которой соответствует нижняя часть спектра ($r$ - мало);
- существование длинных мысов или больших выступающих частей границы, содержащих $sB$, показывает наличие изолированных импульсов при $r = s$;
- $B$-формность ($B$-образие) $X$, то есть максимальная степень содержания $B$ в $X$ может быть измерена с помощью $PS_{x}(p,B)/A(x)$;
- отрицательная часть $r$-оси демонстрирует наличие больших импульсов, если существует значительная вогнутость (впадины или дыры) в $X$.
