Морфологический спектр

Материал из Техническое зрение
(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «В различных областях, связанных с передачей и обработкой сигналов, нашли широкое примен…»)
 
 
Строка 1: Строка 1:
 
В различных областях, связанных с передачей и обработкой сигналов, нашли
 
В различных областях, связанных с передачей и обработкой сигналов, нашли
широкое применение спектральные подходы, основанные на преобразовании Фурье. В работах П.,Марагоса по аналогии с
+
широкое применение спектральные подходы, основанные на преобразовании Фурье. В работах П.Марагоса по аналогии с
 
преобразованием Фурье вводится представление изображения в виде
 
преобразованием Фурье вводится представление изображения в виде
форморазмерного спектра, вычисляемого при помощи операций морфологии.
+
форморазмерного спектра, вычисляемого при помощи операций математической морфологии Серра.
 
Интересна также непосредственная связь введенных спектров с операцией
 
Интересна также непосредственная связь введенных спектров с операцией
 
скелетизации изображения, давно и плодотворно используемой как в ММ, так и в
 
скелетизации изображения, давно и плодотворно используемой как в ММ, так и в
 
других методах преобразования и распознавания изображений.
 
других методах преобразования и распознавания изображений.
 +
 +
==Структура преобразования Фурье==
  
 
Рассмотрим с самых общих позиций преобразование Фурье. Оно содержит два
 
Рассмотрим с самых общих позиций преобразование Фурье. Оно содержит два
Строка 13: Строка 15:
 
#Измерение площади под этим модифицированным сигналом $S(t)e^{-i{\omega}t}$.
 
#Измерение площади под этим модифицированным сигналом $S(t)e^{-i{\omega}t}$.
  
Можно считать $e^{-i{\omega}t}$ некоторым <<пробным образом>>, зависящим
+
Можно считать $e^{-i{\omega}t}$ некоторым "пробным образом", зависящим
 
от частотного параметра ${\omega}$ и выделяющим некоторую информацию (спектральный
 
от частотного параметра ${\omega}$ и выделяющим некоторую информацию (спектральный
 
состав) из сигнала путем модуляции и последующего измерения преобразованного сигнала.
 
состав) из сигнала путем модуляции и последующего измерения преобразованного сигнала.
Причем собственной спектральной характеристикой <<пробного образа>> является
+
Причем собственной спектральной характеристикой "пробного образа" является
 
импульс на соответствующей частоте ${\omega}$. Рассмотрим следующие аналогии:
 
импульс на соответствующей частоте ${\omega}$. Рассмотрим следующие аналогии:
# ${S(t) }\to {X }$~--- двумерный образ;
+
# ${S(t) }\to {X }$ - двумерный образ;
# $e^{-i{\omega}t}\to B_n $~--- двумерный структурирующий элемент размера (масштаба) $n$;
+
# $e^{-i{\omega}t}\to B_n $ - двумерный структурирующий элемент размера (масштаба) $n$;
# ${\omega}\to n $~--- размерный (масштабный) параметр;
+
# ${\omega}\to n $ - размерный (масштабный) параметр;
 
# частотная модуляция $\to $ морфологическая фильтрация (открытие/закрытие) c использованием структурирующего элемента $B_{n}$ размером $n$.
 
# частотная модуляция $\to $ морфологическая фильтрация (открытие/закрытие) c использованием структурирующего элемента $B_{n}$ размером $n$.
  
Строка 34: Строка 36:
 
r\ge 0 ,
 
r\ge 0 ,
 
$$
 
$$
где умножение двумерной точки \textbf{b} на скаляр $r$ понимается как умножение
+
где умножение двумерной точки $\textbf{b}$ на скаляр $r$ понимается как умножение
 
на этот скаляр каждой из ее координат. Очевидно, форма $rB$ повторяет форму $B$. Рассмотрим компактное (связное)
 
на этот скаляр каждой из ее координат. Очевидно, форма $rB$ повторяет форму $B$. Рассмотрим компактное (связное)
бинарное изображение $X\subseteq R^2$. Определим образовый спектр (pattern
+
бинарное изображение $X\subseteq R^2$.
 +
 
 +
==Образовый спектр Марагоса==
 +
 
 +
Определим образовый спектр (pattern
 
spectrum) множества $X$ относительно выпуклого множества $B\subseteq R^2$ как
 
spectrum) множества $X$ относительно выпуклого множества $B\subseteq R^2$ как
 
функцию
 
функцию
Строка 53: Строка 59:
 
\end{gather}
 
\end{gather}
  
где $A(X)$~--- площадь $X$, и выражения \refEquation{6.1.4} и \refEquation{6.1.5} задают спектр
+
где $A(X)$ - площадь $X$, и выражения (1) и (2) задают спектр
 
соответственно на положительной и отрицательной частях оси $r$.
 
соответственно на положительной и отрицательной частях оси $r$.
  
Строка 63: Строка 69:
 
</center>
 
</center>
  
Пусть $rB$ есть $rD$~--- диск радиуса $r$. Убедимся в том, что спектральной
+
Пусть $rB$ есть $rD$ - диск радиуса $r$. Убедимся в том, что спектральной
 
характеристикой $rD$ является импульс в точке $r$ (как спектром $e^{-iwt}$ является импульс в точке $W$).
 
характеристикой $rD$ является импульс в точке $r$ (как спектром $e^{-iwt}$ является импульс в точке $W$).
 
В самом деле, так как
 
В самом деле, так как
$X = rD$~--- компактный диск, то существует максимальное $p > 0$ такое, что
+
$X = rD$ - компактный диск, то существует максимальное $p > 0$ такое, что
 
$X\circ rB=0\forall r>p$. При $0 < r < p$ имеем $X\circ rB=X$.
 
$X\circ rB=0\forall r>p$. При $0 < r < p$ имеем $X\circ rB=X$.
 
Следовательно, функция $A(X\circ rB)$ является ступенчатой и ее производная
 
Следовательно, функция $A(X\circ rB)$ является ступенчатой и ее производная
Строка 74: Строка 80:
 
относительно $rB$.
 
относительно $rB$.
  
 +
==Виды информации в спектре==
  
 
Морфологический спектр содержит наряду с другими четыре основных вида
 
Морфологический спектр содержит наряду с другими четыре основных вида
 
информации об образе $X$:
 
информации об образе $X$:
# неровность (шероховатость) поверхности относительно $B$, которой соответствует нижняя часть спектра ($r$~--- мало);
+
# неровность (шероховатость) поверхности относительно $B$, которой соответствует нижняя часть спектра ($r$ - мало);
 
# существование длинных мысов или больших выступающих частей границы, содержащих $sB$, показывает наличие изолированных импульсов при $r = s$;
 
# существование длинных мысов или больших выступающих частей границы, содержащих $sB$, показывает наличие изолированных импульсов при $r = s$;
 
# $B$-формность ($B$-образие) $X$, то есть максимальная степень содержания $B$ в $X$ может быть измерена с помощью $PS_{x}(p,B)/A(x)$;
 
# $B$-формность ($B$-образие) $X$, то есть максимальная степень содержания $B$ в $X$ может быть измерена с помощью $PS_{x}(p,B)/A(x)$;
 
# отрицательная часть $r$-оси демонстрирует наличие больших импульсов, если существует значительная вогнутость (впадины или дыры) в $X$.
 
# отрицательная часть $r$-оси демонстрирует наличие больших импульсов, если существует значительная вогнутость (впадины или дыры) в $X$.
  
Рассмотрим в качестве примера практического приложения морфологического
+
==Полезные ссылки==
спектра разработанную в ИИТ систему определения подлинности
+
металлографской печати ценных бумаг на основе критерия наличия
+
металлографских <<усиков>>. Разработанная методика обработки цифровых
+
изображений металлографской печати с целью автоматического выделения и
+
оценки качества металлографских <<усиков>> основывается на выделении
+
характеристик <<негладкости>> (<<дымчатости>>) контуров наблюдаемых
+
графических элементов. Качественный смысл указанной <<негладкости>> контуров
+
виден из сравнения фрагментов микроскопических изображений подлинной и
+
фальшивой акцизных марок.
+
  
<center>
+
#[[#top| &#9757; К началу ]]
 
+
#[[Математическая морфология|&#9756; Математическая морфология (по Ж. Серра)]]
[[Файл:6-1-19.jpg]]
+
 
+
<strong> Рис. 19 </strong> Графические элементы подлинной металлографии (слева) и ее
+
имитации (справа) на микроскопических изображениях сходных фрагментов
+
 
+
</center>
+
 
+
Как видно из рисунка, графические элементы подлинной металлографии (слева)
+
имеют существенно менее гладкие контура, чем графические элементы ее
+
имитации (справа). Однако, для того чтобы построить систему их
+
автоматического различения, интуитивное понятие <<негладкости контуров>>
+
необходимо было математически формализовать. Соответствующая процедура была
+
реализована в рамках формализма математической морфологии Серра.
+
 
+
Рассмотрим последовательные этапы морфологического анализа изображений
+
подлинной металлографии (слева) и ее имитации (справа).
+
 
+
<center>
+
 
+
[[Файл:6-1-20.jpg]]
+
 
+
<strong> Рис. 20 </strong> Результат бинаризации микроскопических изображений сходных
+
фрагментов подлинной металлографии (слева) и ее имитации (справа)
+
 
+
[[Файл:6-1-21.jpg]]
+
 
+
<strong> Рис. 21 </strong> Результат морфологического выделения края с дисковым
+
структурирующим элементом для фрагментов подлинной металлографии (слева) и
+
ее имитации (справа)
+
 
+
</center>
+
 
+
В результате морфологического анализа изображения подделки выделились лишь
+
самые крупные <<наплывы>> контура. Между тем, на изображении подлинной
+
металлографии выделилось значительное количество более мелких неровностей
+
контура различного размера. Именно это свойство <<фрактальности>> (т.\:е.
+
самоподобия неровности контура при сохранении случайного характера этих
+
отклонений) и является отличительной чертой контура элементов подлинной
+
металлографии по сравнению с ее имитацией, искусственно воспроизводящей
+
неровности только самого крупного размера, что как раз и может быть
+
математически формализовано в рамках теории морфологического спектра.
+
 
+
 
+
Рассмотрим результаты построения ''морфологического спектра'' для случая подлинных и фальшивых
+
изображений (рис. 22 и рис. 23). Морфологический спектр фрагмента
+
подлинной металлографии достаточно однороден, в то время как на
+
морфологическом спектре фрагмента подделки наблюдается явное преобладание
+
крупных деталей. Это позволяет использовать критерии на базе
+
морфологического спектра для создания программно-аппаратных средств для
+
определения подлинности металлографской печати на основе применения критерия
+
наличия металлографских <<усиков>>.
+
 
+
<center>
+
 
+
[[Файл:6-1-22.jpg]]
+
 
+
<strong> Рис. 22 </strong> Морфологический спектр фрагмента подлинной марки с
+
металлографскими усиками
+
 
+
[[Файл:6-1-23.jpg]]
+
 
+
<strong> Рис. 23 </strong> Морфологический спектр фрагмента поддельной марки с имитацией
+
металлографских усиков
+
 
+
</center>
+

Текущая версия на 01:46, 29 мая 2022

В различных областях, связанных с передачей и обработкой сигналов, нашли широкое применение спектральные подходы, основанные на преобразовании Фурье. В работах П.Марагоса по аналогии с преобразованием Фурье вводится представление изображения в виде форморазмерного спектра, вычисляемого при помощи операций математической морфологии Серра. Интересна также непосредственная связь введенных спектров с операцией скелетизации изображения, давно и плодотворно используемой как в ММ, так и в других методах преобразования и распознавания изображений.

Содержание

[править] Структура преобразования Фурье

Рассмотрим с самых общих позиций преобразование Фурье. Оно содержит два этапа:

  1. Умножение одномерного сигнала $S(t)$ на комплексную синусоиду $e^{-i{\omega}t}$;
  2. Измерение площади под этим модифицированным сигналом $S(t)e^{-i{\omega}t}$.

Можно считать $e^{-i{\omega}t}$ некоторым "пробным образом", зависящим от частотного параметра ${\omega}$ и выделяющим некоторую информацию (спектральный состав) из сигнала путем модуляции и последующего измерения преобразованного сигнала. Причем собственной спектральной характеристикой "пробного образа" является импульс на соответствующей частоте ${\omega}$. Рассмотрим следующие аналогии:

  1. ${S(t) }\to {X }$ - двумерный образ;
  2. $e^{-i{\omega}t}\to B_n $ - двумерный структурирующий элемент размера (масштаба) $n$;
  3. ${\omega}\to n $ - размерный (масштабный) параметр;
  4. частотная модуляция $\to $ морфологическая фильтрация (открытие/закрытие) c использованием структурирующего элемента $B_{n}$ размером $n$.

Далее для простоты будем рассматривать непрерывный бинарный случай, хотя все вводимые понятия распространены на дискретный бинарный и непрерывный полутоновый случаи. Введем понятие размера множества $B$ (заметим, что это понятие отличается от понятия размера, приведенного ранее). Пусть на плоскости $R^{2}$ дано некоторое выпуклое множество $B$, размер которого считается единичным. Тогда множество $rB$, имеющее относительно $B$ размер $r$ ($r\in R)$, определяется как $$ rB= \{r\textbf{b} \,\vert\, \textbf{b}\in B\}, \quad r\ge 0 , $$ где умножение двумерной точки $\textbf{b}$ на скаляр $r$ понимается как умножение на этот скаляр каждой из ее координат. Очевидно, форма $rB$ повторяет форму $B$. Рассмотрим компактное (связное) бинарное изображение $X\subseteq R^2$.

[править] Образовый спектр Марагоса

Определим образовый спектр (pattern spectrum) множества $X$ относительно выпуклого множества $B\subseteq R^2$ как функцию


\begin{gather}\tag{1} PS_x (r,B)=\frac{-dA(X\circ rB)}{dr},\quad r\ge 0, \end{gather}

\begin{gather}\tag{2} PS_x (-r,B)=\frac{dA(X\bullet rB)}{dr},\quad r>0, \end{gather}

где $A(X)$ - площадь $X$, и выражения (1) и (2) задают спектр соответственно на положительной и отрицательной частях оси $r$.

6-1-18.jpg

Рис. 18 Морфологический спектр с круглым структурирующим элементом и последовательные этапы морфологической обработки при его построении

Пусть $rB$ есть $rD$ - диск радиуса $r$. Убедимся в том, что спектральной характеристикой $rD$ является импульс в точке $r$ (как спектром $e^{-iwt}$ является импульс в точке $W$). В самом деле, так как $X = rD$ - компактный диск, то существует максимальное $p > 0$ такое, что $X\circ rB=0\forall r>p$. При $0 < r < p$ имеем $X\circ rB=X$. Следовательно, функция $A(X\circ rB)$ является ступенчатой и ее производная имеет один $\delta $-импульс в точке $r = p$. Физический смысл спектра легко понять, если учесть, что $X\circ rB=\mathop\cup\limits_{rB\in X} rB$ (см. выше). Это означает, что $A(X\circ rB)$ есть мера содержания $X$ относительно $rB$.

[править] Виды информации в спектре

Морфологический спектр содержит наряду с другими четыре основных вида информации об образе $X$:

  1. неровность (шероховатость) поверхности относительно $B$, которой соответствует нижняя часть спектра ($r$ - мало);
  2. существование длинных мысов или больших выступающих частей границы, содержащих $sB$, показывает наличие изолированных импульсов при $r = s$;
  3. $B$-формность ($B$-образие) $X$, то есть максимальная степень содержания $B$ в $X$ может быть измерена с помощью $PS_{x}(p,B)/A(x)$;
  4. отрицательная часть $r$-оси демонстрирует наличие больших импульсов, если существует значительная вогнутость (впадины или дыры) в $X$.

[править] Полезные ссылки

  1. ☝ К началу
  2. ☜ Математическая морфология (по Ж. Серра)
Личные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты