Просмотр исходного текста страницы Морфологический спектр

В различных областях, связанных с передачей и обработкой сигналов, нашли
широкое применение спектральные подходы, основанные на преобразовании Фурье. В работах П.,Марагоса по аналогии с
преобразованием Фурье вводится представление изображения в виде
форморазмерного спектра, вычисляемого при помощи операций морфологии.
Интересна также непосредственная связь введенных спектров с операцией
скелетизации изображения, давно и плодотворно используемой как в ММ, так и в
других методах преобразования и распознавания изображений.

==Преобразование Фурье==

Рассмотрим с самых общих позиций преобразование Фурье. Оно содержит два
этапа:

#Умножение одномерного сигнала $S(t)$ на комплексную синусоиду $e^{-i{\omega}t}$;
#Измерение площади под этим модифицированным сигналом $S(t)e^{-i{\omega}t}$.

Можно считать $e^{-i{\omega}t}$ некоторым "пробным образом", зависящим
от частотного параметра ${\omega}$ и выделяющим некоторую информацию (спектральный
состав) из сигнала путем модуляции и последующего измерения преобразованного сигнала.
Причем собственной спектральной характеристикой "пробного образа" является
импульс на соответствующей частоте ${\omega}$. Рассмотрим следующие аналогии:
# ${S(t) }\to {X }$ - двумерный образ;
# $e^{-i{\omega}t}\to B_n $ - двумерный структурирующий элемент размера (масштаба) $n$;
# ${\omega}\to n $ - размерный (масштабный) параметр;
# частотная модуляция $\to $ морфологическая фильтрация (открытие/закрытие) c использованием структурирующего элемента $B_{n}$ размером $n$.

Далее для простоты будем рассматривать непрерывный бинарный случай, хотя все вводимые понятия распространены на дискретный бинарный и непрерывный
полутоновый случаи. Введем понятие размера множества $B$ (заметим, что это
понятие отличается от понятия размера, приведенного ранее). Пусть на
плоскости $R^{2}$ дано некоторое выпуклое множество $B$, размер которого
считается единичным. Тогда множество $rB$, имеющее относительно $B$ размер $r$
($r\in R)$, определяется как
$$
rB= \{r\textbf{b} \,\vert\, \textbf{b}\in B\},
\quad
r\ge 0 ,
$$
где умножение двумерной точки \textbf{b} на скаляр $r$ понимается как умножение
на этот скаляр каждой из ее координат. Очевидно, форма $rB$ повторяет форму $B$. Рассмотрим компактное (связное)
бинарное изображение $X\subseteq R^2$. 

==Образовый спектр==

Определим образовый спектр (pattern
spectrum) множества $X$ относительно выпуклого множества $B\subseteq R^2$ как
функцию


\begin{gather}\label{6.1.4}

PS_x (r,B)=\frac{-dA(X\circ rB)}{dr},\quad r\ge 0, 

\end{gather}

\begin{gather}\label{6.1.5}

PS_x (-r,B)=\frac{dA(X\bullet rB)}{dr},\quad r>0, 

\end{gather}

где $A(X)$ - площадь $X$, и выражения (1) и (2) задают спектр
соответственно на положительной и отрицательной частях оси $r$.

<center>
[[Файл:6-1-18.jpg]]

<strong>Рис. 18</strong> Морфологический спектр с круглым структурирующим элементом и
последовательные этапы морфологической обработки при его построении
</center>

Пусть $rB$ есть $rD$ - диск радиуса $r$. Убедимся в том, что спектральной
характеристикой $rD$ является импульс в точке $r$ (как спектром $e^{-iwt}$ является импульс в точке $W$).
В самом деле, так как
$X = rD$ - компактный диск, то существует максимальное $p > 0$ такое, что
$X\circ rB=0\forall r>p$. При $0 < r < p$ имеем $X\circ rB=X$.
Следовательно, функция $A(X\circ rB)$ является ступенчатой и ее производная
имеет один $\delta $-импульс в точке $r = p$. Физический смысл спектра легко
понять, если учесть, что $X\circ rB=\mathop\cup\limits_{rB\in X} rB$ (см. выше).
Это означает, что $A(X\circ rB)$ есть мера содержания $X$
относительно $rB$.

==Виды информации в спектре==

Морфологический спектр содержит наряду с другими четыре основных вида
информации об образе $X$:
# неровность (шероховатость) поверхности относительно $B$, которой соответствует нижняя часть спектра ($r$ - мало);
# существование длинных мысов или больших выступающих частей границы, содержащих $sB$, показывает наличие изолированных импульсов при $r = s$;
# $B$-формность ($B$-образие) $X$, то есть максимальная степень содержания $B$ в $X$ может быть измерена с помощью $PS_{x}(p,B)/A(x)$;
# отрицательная часть $r$-оси демонстрирует наличие больших импульсов, если существует значительная вогнутость (впадины или дыры) в $X$.

Рассмотрим в качестве примера практического приложения морфологического
спектра разработанную в ИИТ систему определения подлинности
металлографской печати ценных бумаг на основе критерия наличия
металлографских "усиков". Разработанная методика обработки цифровых
изображений металлографской печати с целью автоматического выделения и
оценки качества металлографских "усиков" основывается на выделении
характеристик "негладкости" ("дымчатости") контуров наблюдаемых
графических элементов. Качественный смысл указанной "негладкости" контуров
виден из сравнения фрагментов микроскопических изображений подлинной и
фальшивой акцизных марок.

<center>

[[Файл:6-1-19.jpg]]

<strong> Рис. 19 </strong> Графические элементы подлинной металлографии (слева) и ее
имитации (справа) на микроскопических изображениях сходных фрагментов

</center>

Как видно из рисунка, графические элементы подлинной металлографии (слева)
имеют существенно менее гладкие контура, чем графические элементы ее
имитации (справа). Однако, для того чтобы построить систему их
автоматического различения, интуитивное понятие "негладкости контуров"
необходимо было математически формализовать. Соответствующая процедура была
реализована в рамках формализма математической морфологии Серра.

==Этапы морфологического анализа изображений==

Рассмотрим последовательные этапы морфологического анализа изображений
подлинной металлографии (слева) и ее имитации (справа).

<center>

[[Файл:6-1-20.jpg]]

<strong> Рис. 20 </strong> Результат бинаризации микроскопических изображений сходных
фрагментов подлинной металлографии (слева) и ее имитации (справа)

[[Файл:6-1-21.jpg]]

<strong> Рис. 21 </strong> Результат морфологического выделения края с дисковым
структурирующим элементом для фрагментов подлинной металлографии (слева) и
ее имитации (справа)

</center>

==Фрактальность==

В результате морфологического анализа изображения подделки выделились лишь
самые крупные "наплывы" контура. Между тем, на изображении подлинной
металлографии выделилось значительное количество более мелких неровностей
контура различного размера. Именно это свойство "фрактальности" (т.е. самоподобия неровности контура при сохранении случайного характера этих
отклонений) и является отличительной чертой контура элементов подлинной
металлографии по сравнению с ее имитацией, искусственно воспроизводящей
неровности только самого крупного размера, что как раз и может быть
математически формализовано в рамках теории морфологического спектра.


Рассмотрим результаты построения ''морфологического спектра'' для случая подлинных и фальшивых
изображений (рис. 22 и рис. 23). Морфологический спектр фрагмента
подлинной металлографии достаточно однороден, в то время как на
морфологическом спектре фрагмента подделки наблюдается явное преобладание
крупных деталей. Это позволяет использовать критерии на базе
морфологического спектра для создания программно-аппаратных средств для
определения подлинности металлографской печати на основе применения критерия
наличия металлографских "усиков".

<center>

[[Файл:6-1-22.jpg]]

<strong> Рис. 22 </strong> Морфологический спектр фрагмента подлинной марки с
металлографскими усиками

[[Файл:6-1-23.jpg]]

<strong> Рис. 23 </strong> Морфологический спектр фрагмента поддельной марки с имитацией
металлографских усиков

</center>


==Полезные ссылки==

#[[#top| &#9757; К началу ]]
#[[Математическая морфология|&#9756; Математическая морфология (по Ж. Серра)]]