Просмотр исходного текста страницы Морфологический анализ Пытьева

Пусть изображения являются элементами гильбертова пространства изображений
$\Omega \sim L^{2}$. Тогда можно говорить о норме изображения $\vert
\vert A\vert \vert $ и расстоянии между изображениями, равном $\vert
\vert A-B\vert \vert $. Далее, пусть задано некоторое выпуклое и
замкнутое подпространство изображений $M\in \Omega $. Тогда любому
изображению $A\in \Omega $ может быть поставлено в соответствие
изображение $L\in M$ такое, что

$$
\vert \vert L-A\vert \vert = \min \{\vert \vert B-A\vert \vert
,  B\in M\}.
$$

Легко убедиться, что такое отображение $\phi (A): A\to M$ всегда будет
$\textit{проектором, }$в том (алгебраическом) смысле, что $\phi (\phi (A))=\phi (A)$.
Поэтому можно также обозначить $L=\textrm{Pr} (A,M)$, т.\:е. "$L$ есть проекция $A$ на $M$".

Используя введенное понятие проекции, можно определить численную меру
близости изображения к множеству изображений $K(A,M)$ ($\textit{морфологический коэффициент корреляции}$) вида

$$
K(A,M)=\frac{\vert \vert \textrm{Pr} (A,M)\vert \vert} {\vert \vert A\vert \vert} ,
$$

обладающую следующими практически полезными свойствами:

1) $0\le K(A,M)\le 1$, $A\in \Omega $, $M\in \Omega $;

2) $K(A,M)=1 \Longleftrightarrow A\in M$.

3) $K(A,M)=0 \Longleftrightarrow \textrm{Pr} (A,M)=\emptyset $.

Преимущества морфологического коэффициента корреляции связаны с возможностью
более полного учета условий регистрации изображений. Пусть процесс
регистрации изображения описывается при помощи некоторой группы преобразований
$T$ эталонного изображения $g(x,y)\in \Omega $. Определим $\textit{форму изображения}$ $g$ как

$$
M(g)=\{\tau (g): \tau \in T\}.
$$

Тогда при помощи $K_{T}(f,g)=K(f,M)$ можно сравнивать изображение с эталоном
инвариантно к любым преобразованиям типа $T$. Пусть, например, эталонное
изображение $f$ является кусочно-постоянной двумерной функцией интенсивности
вида

$$
f(x,y)=\sum_i^n a_{i}\chi _{i}(x,y),
$$

где $\chi _{i}$ -  индикаторная функция $i$-й области $\textit{разбиения}$ кадра, а $a_{i}$ -  цвет закраски $i$-й области.
Множество изображений $\textit{той же формы}$ имеет вид

$$
M=\left\{\sum_i^n b_{i} \chi _{i}(x,y):
\langle b_{1},{\ldots},b_{n} \rangle \in R^{n}\right\}.
$$

Тогда проекционное преобразование можно считать параметрическим вида
$b_{i}=b(a_{i})$, где $i=1,{\ldots},n$ -  количество уровней яркости на
изображении. Соответственно для любого изображения $g(x,y)$ проекция $\textrm{Pr} (g,f)$
определяется набором параметров $\textbf{b}$:

$$
b_{i}=\frac {\int\!\!\!\int (g(x,y){\chi}
_{i}(x,y)) dx dy}{\int\!\!\!\int \chi _{i}(x,y) dx dy}, \quad i=1,{\ldots},n.
$$

Таким образом, в морфологическом подходе Пытьева проективные операторы
используются для $\textit{сравнения изображений между собой}$, а также для $\textit{сравнения изображений с обобщенными моделями}$ ($\textit{формами}$). Данный подход позволяет сравнивать между
собой и модели, устанавливая между ними отношения "$\textit{более простой/более сложный} \textit{по форме}$".

Именно формализм морфологии Ю.П.Пытьева послужил прообразом описываемого в
данном разделе морфологического подхода к анализу изображений.


==Полезные ссылки==

#[[#top| &#9757; К началу ]]
#[[Изображение как структура|&#9756; Изображение как структура]]