Морфологическая фильтрация изображений.

Пусть базис\linebreak $\textbf{E}(\textbf{p}, \textbf{q})$ является полным на $\Omega $. Назовем $\textit{морфологическим преобразованием}$ изображения любое преобразование $f$ такое, что

$$ f(A(\textbf{p}))=\vee_{q\in Q}F(A(\textbf{q}), \textbf{q}){\bullet}\phi (\textbf{p}, \textbf{q}), $$

где $F(A(\textbf{q}), \textbf{q})\in \Psi $ - $\textit{весовая функция}$ данного преобразования в пространстве параметров. Если оператор $f$ также обладает свойством проектора:

$$ f(f(A(\textbf{p})))=f(A(\textbf{p})), $$

то такое преобразование можно назвать $\textit{морфологическим фильтром}$. Если весовая функция не зависит от изображения, то

$$f(A(\textbf{p}))=\vee_{q\in Q}F(\textbf{q}){\bullet}A(\textbf{q}){\bullet}\phi (\textbf{p}, \textbf{q}),$$

где $F(\textbf{q})\in \{0,1\}$ описывает $\textit{область пропускания}$ фильтра. Таким образом, возникает унифицированная двухэтапная схема фильтрации:

1.~$\textit{деконструкция (анализ).}$ Проектирование изображения на образующие полного морфологического разложения;

2.~$\textit{частичная реконструкция (синтез).}$ Объединение проекций на те элементы разложения, которые находятся в области пропускания фильтра.