Математическая морфология

Версия 01:31, 29 мая 2022

Математическая морфология (по Ж. Серра)

Пусть дано евклидово пространство $E^{N}$, на множестве объектов (подмножеств) которого введены отношения включения ($\subset )$, объединения ($\cup )$ и пересечения ($\cap )$. Рассмотрим некоторое преобразование $\Psi : E^{N}\to E^{N}$ (оператор $\Psi )$.

Оператор $\Psi $ называется увеличивающим (increasing), если $$ X\subset Y\Rightarrow \Psi (X)\subset \Psi (Y), \qquad X,Y\subset E^{N}, $$ то есть оператор сохраняет отношение принадлежности.

Оператор $\Psi $ называется дилатацией (расширением), если $$ \Psi (\mathop\cup\limits_i X_{i}) = \mathop\cup\limits_i \Psi (X_{i}), \:\forall X_{i}\subset E^{N}, $$ то есть оператор сохраняет объединение.

Аналогично, оператор, сохраняющий пересечение, называется эрозией (сжатием), если $$ \Psi (\mathop\cap\limits_i X_{i})=\mathop\cap\limits_i (\Psi (X_{i})), \forall X_{i}\subset E^{N}. $$ Оператор называется экстенсивным, если $\Psi (X)\supseteq X$, и антиэкстенсивным, если $$ \Psi (X)\subseteq X. $$ При рассмотрении последовательного применения операторов вводятся понятия:

1. усиливающий оператор $\Psi (\Psi (X))\supseteq \Psi (X)$;
2. ослабляющий оператор $\Psi (\Psi (X))\subseteq \Psi (X)$;
3. равносильный оператор $\Psi (\Psi (X)) = \Psi (X)$.

Морфологическими фильтрами называется множество операторов, являющихся одновременно равносильными и увеличивающими.

Литература

Основной первоисточник по класической математической морфологии: книга Serra J. Image Analysis and Mathematical Morphology. — Academic Press, 1982.

1) Serra J. Image Analysis, Mathematical Morphology. — Academic Press, 1982. 2) Dougherty E. R. The dual representation of gray-scale morphological filters // IEEE Trans. PAMI, 1989. 3) Maragos P. Pattern Spectrum, Multiscole Shape Representation // IEEE Trans. on pattern analysis, machine intelligence. Vol. II. N. 7. July 1989. 4) Местецкий Л. М. Непрерывная морфология бинарных изображений. Фигуры. Скелеты. Циркуляры. — М.: Физматлит, 2009. 5) Масалович А. А. Численные методы детектирования и удаления геометрических искаже-ний в изображениях текстовых документов // Информационные технологии. № 5. 2009. С. 57–61. 6) Визильтер Ю. В. Структурная фильтрация цифровых изображений с использованием проективных морфологий // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2008. № 3.С. 18–22. 7) Домахина Л. Г. Регуляризация скелета для задачи сравнения формы / Математические методы распознавания образов: 14-я Всероссийская конференция. Суздаль, 21-26 сентября 2009 г.: Cборник докладов. —М.: МАКС Пресс, 2009. 8) Choi H. I., Choi S. W., Moon H. P. Mathematical theory of medial axis transform // Pacific. J. of Math. 1997. Vol. 181, 1. P. 57–88. 9) Mirela Tanase. Shape Decomposition and Retrieval // PhD Thesis. — Utrecht University,2005. 10) Domakhina L., Okhlopkov A. Изоморфные скелеты растровых изображений / Труды 18 международной конференции ГРАФИКОН-2003, Москва. 11) Местецкий Л. М., Рейер И. А. Непрерывное скелетное представление изображения с контролируемой точностью / Труды 15 международной конференции ГРАФИКОН-2003. C. 246–249. 12) Виноградов И. М. Устойчивости теория // Математическая энциклопедия. Т. 5. 1977.С. 551–553. 13) Godbole S., Amin A. Mathematical morphology for edge overlap detection for medical images // Real-Time Imaging. 1995. № 1(3). P. 191–201. 14) Haralick R. M., Stenberg S. R., Zhuang X. Image analysis using mathematical morphology // IEEE Trans. Pattern Analysis. Machine Intelligence. 1987. Vol. 9. № 4. P. 532–550. 15) HaRalick R. M. etc. The Digital Morphological Sampling Theorem // IEEE Transactions on acoustics, speech. Signal processing. Vol 37. No 12. December 1989. 16) Visilter Yu. V., Design of Morphological Operators Based on Selective Morphology // SPIE Proceedings. Vol. 4667. Sun Jose. 2002. P. 215–226. 17) Visilter Yu. V., Image Analysis Using Select-Only Morphological Operators // SPIE Proceedings. Vol. 4197. Boston, 2000. 18) Yang J., Li X. Boundary detection using mathematical morphology // Pattern Recogn. Lett. 1995. № 16(12). P. 1277-1286. 19) Yeong-Chyang Shih F., Mitchell O. R. Threshold Decomposition of gray Scale Morphology into Binary Morphology // IEEE trans. on pattern analysis, machine intelligence. Vol. II. No 1. January 1989.

Подробнее:

1. Морфологические операции на бинарных изображениях
2. Морфологические операции на полутоновых изображениях
3. Морфологическое выделение «черт» и объектов
4. Морфологический спектр
5. Морфологические скелеты
6. Регуляризация скелетов
7. Селективные морфологии
8. Литература для самостоятельного изучения