Типы нерегулярностей скелета
Будем рассматривать скелет как планарный $\textit{скелетный граф}$. Его вершины - центры окружностей, касающихся границы в трех и более точках, а также терминальные точки скелета, а ребра - серединные оси фигуры, линии, состоящие из центров окружностей, касающихся границы в двух и более точках. Пусть вершины скелета, имеющие одно инцидентное ребро, называются $\textit{терминальными}$, а остальные - $\textit{узлами скелета}$.
Содержание |
Терминальные и внутренние рёбра
Ребра, инцидентные терминальной вершине, будем называть $\textit{терминальными}$, остальные ребра - $\textit{внутренними}$.
|
|
|
| Рис. 35 Рудиментные ребра скелетного графа | Рис. 36 Перехлест внутренних вершин | Рис. 37 Рудиментные циклы скелетного графа |
Виды нерегулярностей скелета
С интуитивной точки зрения нерегулярностями скелета являются такие его элементы, которые сильно изменяются (возникают, исчезают или видоизменяются) при незначительных изменениях фигуры. На основе описанных примеров (рис. 35 - 37) предложена следующая классификация нерегулярностей скелета на три типа (Табл. 1).
Таблица 1 Виды нерегулярностей скелета
| Обозначение | Вид нерегулярности | Причины возникновения |
| $\Psi _1 $ | рудиментные терминальные ребра | неровности границы |
| $\Psi _2 $ | перехлест внутренних вершин | короткие внутренние ребра |
| $\Psi _3 $ | рудиментные циклы скелетного графа | изменение связности фигуры |
Типы нерегулярностей
Введем следующие обозначения: $\mu : F\to \mbox{Sk}$ - оператор, который по фигуре строит непрерывный скелет; ${\mu}(F)$ - непрерывный скелет фигуры $F$; $d_H (F,F_1 )$ - расстояние Хаусдорфа между фигурами $F$ и $F_1 $, определяемое как максимальное евклидово расстояние между ближайшими точками этих фигур.
Терминальные шумовые ребра
Первый тип "нерегулярности" непрерывного скелета - это $\textit{терминальные шумовые ребра}$, вызванные неровностью границы фигуры (рис. 34 $\textit{а}$), не имеющие ничего общего с общей структурой фигуры (рис. 35).
Терминальным рудиментным ребром
$\textit{Терминальным рудиментным ребром}$ скелета ${\mu}(F)$ фигуры $F$ с точностью $\epsilon $ называется терминальное ребро $e$ такое, что найдется $\epsilon $-близкая фигура $F_1 $, $d_H (F,F_1 )<\epsilon $, в скелете которой ${\mu}(F_1)$ отсутствует это терминальное ребро: $$ {\mu}(F)\supseteq {\mu}(F_1 ),\quad {\mu}(F)\backslash {\mu}(F_1 )\supseteq e. $$
Перехлест внутренних узлов скелета
Второй тип "нерегулярности" кроется во внутренних ребрах скелета при незначительных вариациях фигуры: внутренние узлы короткого ребра скелета могут поменяться местами - $\textit{перехлест внутренних узлов скелета}$ (рис. 36).
Рудиментное внутреннее ребро
$\textit{Рудиментным внутренним ребром}$ скелета ${\mu}(F)$ фигуры $F$ с точностью $\epsilon $ называется внутреннее ребро $e$ такое, что найдется $\epsilon $-близкая фигура $F_1 $, $d_H (F,F_1 )<\epsilon $, в скелете которой ${\mu}(F_1)$ отсутствует это внутреннее ребро: $$ {\mu}(F)\supseteq {\mu}(F_1 ),\quad {\mu}(F)\backslash {\mu}(F_1 )\supseteq e. $$
Несущественные циклы
Наконец, третий тип "нерегулярности" в скелете может возникнуть из-за небольших "дырок" фигуры, которые приводят к многосвязности и серьезными изменениям топологии скелета (рис. 37) - $\textit{появлению несущественных циклов}$ (рис. 34 $\textit{в}$). Каждой "дырке" соответствует цикл скелетного графа. Максимальное расстояние между двумя точками "дырки" будем считать ее диаметром.
Рудиментный цикл
$\textit{Рудиментным циклом}$ скелетного графа ${\mu}(F)$ фигуры $F$ с точностью $\epsilon $ назовем такой цикл, который соответствует дырке, имеющей диаметр меньше фиксированного значения $\epsilon $.
