Селективные морфологии

Материал из Техническое зрение
Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Буквенно-функциональные обозначения

Классическое описание операторов математической морфологии (MM) дано выше. В данном разделе для морфологических операторов будут приняты следующие буквенно-функциональные обозначения:

$\it{сжатие (Erosion)}$: $\textrm{E}( \it{A} ,B(r))$ или $\textrm{E}( \it{A} ,B)$, $\textrm{E}( \it{A} ,r)$, $\textrm{E}( \it{A})$;

$\it{расширение (Dilation)}$: $\textrm{D}(\it{A} , B(r))$ или $\textrm{D}( \it{A} , B)$, $\textrm{D}( \it{A} , r)$, $\textrm{D}( \it{A})$;

$\it{открытие (Opening)}$: $\textrm{O}( \it{A} , B(r))$ или $\textrm{O}( \it{A} , B$), $\textrm{O}( \it{A} , r)$, $\textrm{O}( \it{A})$;

$\it{закрытие (Closing)}$: $\textrm{C}( \it{A} , B(r))$ или $\textrm{C}( \it{A} , B)$, $\textrm{C}( \it{A} , r)$, $\textrm{C}( \it{A})$;

где $A$ - исходное бинарное изображение, $B(r)$ - бинарный структурирующий элемент размера $r$. Везде, где не указывается структурирующий элемент, подразумевается, что выражения верны для любого элемента. Перечислим основные свойства операторов бинарной ММ, которые можно сформулировать безотносительно к структурирующим элементам:

Основные свойства операторов бинарной ММ

$$ \begin{gather}\tag{1} \begin{array} aa)\: ({A} \supseteq {A1}) \Rightarrow \textrm{E}( \it{A}) \supseteq \textrm{E}(A1),\: \textrm{D}( \it{A}) \supseteq \textrm{D}(A1),\: \textrm{O}(\it{A}) \supseteq \textrm{O}(A1),\: \textrm{C}( \it{A}) \supseteq \textrm{C}(A1);\\ b)\: \textrm{D}( \it{A}) \supseteq \textrm{C}(\it{A}) \supseteq \it{A} \supseteq \textrm{O}( \it{A}) \supseteq \textrm{E}(A);\\ c)\: \textrm{E}( \it{A}) = [\textrm{D}( \it{A}^{\textrm{C}})]^{\textrm{C}},\: \textrm{D}( \it{A}) = [\textrm{E}(\it{A}^{\textrm{C}})]^{\textrm{C}},\: \textrm{O}( \it{A}) = [\textrm{C}( \it{A}^{\textrm{C}})]^{\textrm{C}};\\ d)\: \textrm{C}(\it{A}) = [\textrm{O}( \it{A}^{\textrm{C}})]^{\textrm{C}};\\ e)\: \textrm{O}(\textrm{O}( \it{A})) = \textrm{O}(A),\: \textrm {C(C}( \it{A})) = \textrm{С}(A);\\ f)\: \textrm{E}( \it{A})=\emptyset \Leftrightarrow \textrm{O}(A)=\emptyset, \end{array} \end{gather} $$

где []$^{\textrm{C}}$ - суперпозиция теоретико-множественного дополнения и центральной симметрии (поворота на 180°). Кроме того, обычно предполагается $\textit{инвариантность морфологических операторов относительно сдвига в плоскости изображения}$:

Инвариантность морфологических операторов относительно сдвига в плоскости изображения

$$ \begin{gather}\tag{2} \begin{array}{c} \textrm{E}(A^{T}) = [\textrm{E}(A)]^{T}, \textrm{D}(A^{T}) = [\textrm{D}(A)]^{T},\\ \textrm{O}(A^{T}) = [\textrm{O}(A)]^{T}, \textrm{C}(A^{T}) = [\textrm{C}(A)]^{T}. \end{array} \end{gather} $$

где [.]$^{T}$ - операция сдвига (переноса) изображения на вектор $\textbf{t}=\langle x_{t},y_{t}\rangle$. Именно перечисленные свойства операторов MM делают морфологическую обработку изображений столь привлекательной. При этом помимо простейших морфологических операторов Серра существуют и другие системы операторов, удовлетворяющие описанным свойствам, в том числе - построенные на основе других, неморфологических операторов. Формализуем задачу их построения при помощи следующих определений.

Бинарные монотонные морфологии

"Бинарной монотонной морфологией" назовем систему из четырех операторов, для которых выполняются условия ((1)) и ((2)). Операторы E, D называются операторами $\textit{монотонного сжатия и расширения}$, а операторы O, C - $\textit{монотонного открытия и закрытия}$. Оператор пересечения с исходным изображением называется $"\textit{оператором монотонизации по уменьшению}"$. Пусть заданы оператор монотонного сжатия E и соответствующий оператор монотонного открытия O. Оператором $\textit{восстановления после сжатия}$ называется оператор ER, для которого выполняется $\textrm{O}(A )=\textrm{ER}(\textrm{E}(A ))$. Из свойства ((1) $\it{b}$) следует, что оператор восстановления после сжатия является монотонно увеличивающим (неуменьшающим) оператором. Из того же ((1) $\it{b}$) следует, что не всякий неуменьшающий оператор может служить оператором восстановления для данного оператора сжатия. Поскольку ${\it{A}}\supseteq \textrm{O({\it{A}})} \supseteq \textrm{E({\it{A}})}$, значит ER(E) должен быть ограничен и снизу, и сверху. Значит, оператор ER можно получить из любого неуменьшающего оператора, применяя операцию монотонизации относительно исходного изображения.

Методика построения частной монотонной морфологии

Таким образом, может быть предложена следующая методика построения частной монотонной морфологии:

  1. На основе первого заданного оператора X построить монотонный оператор сжатия $\rm{E_{X}({\it{A}})=X({\it{A}})\cap {\it{A}}}$.
  2. На основе второго заданного оператора Y построить монотонный оператор открытия $\rm{O_{XY}({\it{A}})=Y(E_{X} ({\it{A}}))\cap {\it{A}}}$.
  3. Используя отношения ((1)$\it{c},\it{d}$) построить соответствующие операторы расширения $\rm{D_{X}}$ и закрытия $\rm{C_{XY}=E_{Y}(D_{X})}$.

Построенная таким образом монотонная морфология называется $\textit{морфологией на базе операторов X и Y}$. Пара операторов $\rm \langle X,\,Y \rangle$ при этом называется $\textit{базой морфологии}$, а каждый из этих операторов в отдельности - $\textit{базовым оператором}$. К сожалению, данная схема гарантирует лишь монотонность построенных операторов, но не гарантирует, что построенные таким образом операторы ${\rm E_{X}}({\it{A}})$ и ${\rm {O}_{XY}}({\it{A}})$ сохраняют включение, а ${\rm {O}_{XY}}({\it{A}})$, кроме того, является проектором (а значит, и морфологическим фильтром в смысле Серра). В каждом конкретном случае эти свойства нужно дополнительно доказывать. Определим оператор открытия, обладающий следующим характеристическим $\textit{селективным свойством}$:

$$ \begin{gather}\tag{3} {\rm SO(Object)} = \begin{cases} \emptyset , & \mbox{если } \textrm{E(Object)}=\emptyset ; \cr \textrm{Object}, & \mbox{если } \textrm{E(Object)}\ne \emptyset , \cr \end{cases} \end{gather} $$

где Object - любая связная область на изображении, E(Object) - оператор монотонного сжатия. Смысл этого выражения заключается в том, что оператор SO либо целиком удаляет объект, либо сохраняет его неизменным. Оператор SO $({\it{A}})$ ((3)) называется оператором $\textit{бинарного селективного открытия (С-открытия)}$. Соответствующий оператор ER называется оператором $\textit{предельного монотонного восстановления}$ изображения $(\textit{extreme monotonous image restoration}$, $\textit{EMIR}$): $\rm SO({\it{A}})=EMIR(E({\it{A}})$). Оператор селективного открытия сохраняет включение и является алгебраическим проектором, значит, и вся селективная морфология в целом является морфологической системой операторов. Оператор EMIR может быть представлен как итеративное применение дилатации $3\times 3$ и монотонизации относительно исходного изображения. Принципиальное отличие оператора EMIR($\it{A}',\it{A}$) от оператора D($\it{A}',B$) в роли оператора восстановления после сжатия заключается в том, что оператор D «не знает» об исходном изображении, а оператор EMIR «не знает» о структурирующем элементе. Монотонная морфология, построенная на базе пары операторов $\langle \textrm{E},\,\textrm{EMIR}\rangle$ называется $\textit{селективной морфологией на базе E}$. Если в качестве X использовать оператор морфологического сжатия Серра E(${\it{A}},\,\it{B}$), получим $\textit{структурную селективную морфологию (ССМ)}$. При этом ССМ, в отличие от ММ, сохраняет форму объектов.

6-1-43.jpg

Пример морфологического открытия бинарного изображения: $\it{а}$ - исходное изображение; $\textit{б}$ - результат сжатия; $\it{в}$ - результат открытия; $\it{г}$ - результат «нормализации фона» оператором открытия

6-1-44.jpg

Пример работы оператора селективного открытия: $\it{а}$ - исходное изображение; $\it{б}$ - результат сжатия; $\it{в}$ - результат селективного открытия (С-открытия); $\it{г}$ - результат «нормализации фона» оператором селективного открытия

6-1-45.jpg

{Пример работы операторов КПСМ: $\textit{а}$ - исходное изображение; $\textit{б}$ - результат оператора DeleteEndSegments($n$); $\it{в}$ - результат $\textit{n}$-КПСМ-открытия; $\textit{г}$ - результат «нормализации фона» оператором $n$-КПСМ-открытия

Контурная параметрическая селективная морфология

Однако селективная морфология может быть построена и на базе принципиально иных операторов. В качестве примера рассмотрим контурную параметрическую селективную морфологию. Пусть дано контурное бинарное изображение, состоящее из связных областей толщиной в 1 пиксел. Тогда $\textit{концевой точкой}$ называется пиксел объекта, имеющий не более одного соседа, а $\textit{оператором удаления концевых точек}$ называется оператор DeleteEndPoints($\textit{A}$), удаляющий все концевые точки на A. $\textit{Оператором удаления концевых отрезков длины n}$ называется оператор DeleteEndSegments($n$), выполняющий $n$ повторений DeleteEndPoints($A$). $\textit{Контурной параметрической селективной морфологией (КПСМ)}$ называется морфология на базе $\langle {\rm E=DeleteEndSegments}(\it{n}), \rm EMIR \rangle$. Оператор КПСМ-открытия с параметром $n$ удаляет все связные линии, длина которых не превышает $2n$. Cвойства КПСМ иллюстрирует рис. 45}. Рассмотрим теперь полутоновые селективные морфологии. Среди известных способов обобщения бинарных морфологических операторов на полутоновый случай простейшим является так называемая формальная подстановка, заменяющая бинарные понятия и операции, на полутоновые, им соответствующие. Пусть полутоновое изображение рассматривается как двумерная матрица пикселов, принимающих значение на $[0,\ldots, I_{\max}]$. Тогда:

  1. теоретико-множественные отношения $\supseteq $ и $\subseteq $ заменяются на $\ge $ и$\le $;
  2. операции $\cap $ и $\cup $ заменяются на попиксельные MIN и MAX;
  3. пустому множеству $\emptyset $ соответствует «минимальное» изображение $\mathbf{O}\equiv 0$; %\equiv
  4. операция дополнения соответствует вычитанию из «максимального» изображения $\mathbf{I} \equiv I_{\max}$.%\equiv

Эти подстановки позволяют обобщить введенные выше определения понятий монотонной морфологии на полутоновый случай. В частности, методика построения монотонной морфологии приобретает следующий вид.

  1. На основе первого заданного оператора X построить монотонный оператор полутонового сжатия $\rm E_{X}({\it{A}})=MIN(X({\it{A}}),{\it{A}})$.
  2. На основе второго заданного оператора Y построить монотонный оператор полутонового открытия ${\rm O_{XY}({\it{A}})=MIN(Y(E_{X}({\it{A}})),{\it{A}})}$.
  3. Используя отношения (\refEquation{6.1.6}\it{c},\it{d}), построить соответствующие операторы расширения $\rm D_{X}$

и закрытия $\rm{C}_{XY}=E_{Y}(D_{X})$.

Однако в случае оператора EMIR возникают проблемы, поскольку данный способ обобщения не предлагает полутонового аналога понятия «связности», а следовательно, и понятия «объекта» (связной области). Здесь необходимо использовать иной известный подход к обобщению бинарной морфологии, рассматривающий полутоновое изображение как упорядоченную по убыванию последовательность бинарных изображений, называемых «срезовыми» или «уровневыми». Для полутонового изображения ${\it{A}} \textit{ срезом по уровню k}$ называется бинарное изображение ${\it{A}}^{k}$ такое, что

$$ \it{A}^{k}(x,y)= \begin{cases} 1, &\mbox{ если } \it{A}(x,y)\ge k, \\ \it{A}^{k}(x,y)=0, &\mbox{в противном случае.}\\ \end{cases} $$

Полутоновый оператор GX называется \textit{непосредственным срезовым обобщением} бинарного оператора X, если $$\forall k\in [ 0,\ldots, I_{\max}] : F=\textrm{GX}(A) \Rightarrow F^{k}=\textrm{X}(A^{k}).$$ Срезовое обобщение может быть построено для любого оператора, сохраняющего монотонность. Оператор EMIR сохраняет монотонность, следовательно, для него может быть построено непосредственное срезовое обобщение - $\textit{полутоновый оператор предельного монотонного восстановления изображения после сжатия (GEMIR)}$. Это справедливо и для $\textit{полутонового селективного открытия (GS-opening)}$. Примеры действия соответствующих операторов полутоновой селективной морфологии показаны на рис. 46 и рис. 47.

6-1-46.jpg

Пример работы операторов полутоновой селективной морфологии. $\textit{а}$ - исходное изображение; $\textit{б}$ - сжатие; $\textit{в}$ - селективное открытие; $\textit{г}$ - «нормализация фона» оператором селективного открытия; $\textit{д}$ - расширение; $\textit{е}$ - селективное закрытие; $\textit{ж}$ - «нормализация фона» оператором селективного закрытия

6-1-47.jpg

Пример работы операторов полутоновой селективной морфологии. $\textit{а}$ - исходное изображение; $\textit{б}$ - сжатие; $\textit{в}$ - селективное открытие; $\textit{г}$ - «нормализация фона» оператором селективного открытия; $\textit{д}$ - расширение; $\textit{е}$ - селективное закрытие; $\textit{ж}$ - «нормализация фона» оператором селективного закрытия

Полезные ссылки

  1. ☝ К началу
  2. ☜ Математическая морфология (по Ж. Серра)
Личные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты