Связь преобразования Хафа с преобразованием Радона

Материал из Техническое зрение
Перейти к: навигация, поиск

В компьютерной рентгеновской томографии и радиоастрономии давно используют прямое и обратное преобразования Радона для восстановления изображений по некоторому набору их проекций. Для некоторой функции $f(x,y)$ $\textit{преобразование Радона}$ $P_{\theta }(\rho )$ определяется как

$$ P_{\theta }(\rho )=\int\!\!\!\int f(x,y) \delta (\rho - x \cos \theta - y \sin \theta ) dx dy. $$

Легко увидеть, что это не что иное как интегрирование $f(x,y)$ вдоль прямых, определяемых уравнением (1) для разных $\theta $. Поэтому преобразование Хафа однозначно связано с преобразованием Радона.

В самом деле, преобразование Радона и преобразование Хафа имеют возможность выделения прямых на изображении. Причем и то, и другое преобразование обладают свойством подавления шумов, поскольку вдоль прямых производится интегрирование. За счет этого отношение сигнал/шум в пространстве параметров выше, чем на исходном изображении, и обнаружение прямых обладает большей достоверностью.

Пусть $F(u,v)$ - преобразование Фурье от $f(x,y)$;

$P_{\theta }(\rho )$ - проекция $f(x,y)$ вдоль прямых под углом $\theta $;

$S_{\theta }(\omega )$ - преобразование Фурье от $P_{\theta }$ ($\omega$), тогда

$$ S_{\theta }(\omega )=F(\omega \cos \theta , \omega \sin \theta ). $$

Это означает, что для вычисления преобразования Радона необходимо:

1) вычислить $F(u,v)$ для $f(x,y)$;

2) для $\forall \theta _{i} \in [0 ° , 180 ° ]$ получить набор функций $\{S_{\theta }(\omega )^{2}\}$ в частной области;

3) вычислить обратное преобразование Фурье от каждой $S_{\theta }(\omega )$, в результате чего, мы получим набор $P_{\theta }(\rho )$, которые в совокупности и определяют преобразование Радона для изображения.

Таким образом, переход от исходного изображения $f(x,y)$ к пространству признаков $\langle \rho , \theta \rangle$ происходит через частотную область, в результате чего б ольшая часть вычислений заключается в многократном применении БПФ, что дает выигрыш во времени обработки.

Известно также применение преобразования Радона для улучшения линейных свойств зашумленных изображений. Пусть дано изображение $f$ и его преобразование Радона $\nu $: $$\nu =Rf,$$ где $R$ - оператор преобразования Радона.

Введем оператор $E$, который действует в признаковом пространстве ($\rho , \theta )$ и усиливает имеющиеся пики:

$$\nu ^{\prime} =E \nu =ERf.$$

Улучшенное в смысле линейных свойств изображение можно теперь получить, применяя обратное преобразование Радона:

$$ f^{\prime} =R^{-1}\nu ^{\prime} =R^{-1}ERf. $$

Алгоритм основан на следующих выражениях, связывающих $f(x,y)$ и $P_{\theta }(\rho )$: $$ f(x,y)=\int Q_{\theta }(t)d\theta , $$ где $Q_{\theta }(t)=\int S_{\theta }(\omega )\vert \omega \vert \exp [j\omega t] d\omega$, $S_{\theta }(\omega )=\int P_{\theta }(\rho ) \exp [-j \omega \rho ] d \rho$, $t =x \cos \theta +y \sin \theta $.

Алгоритм включает следующие этапы:

1) вычислить преобразование Фурье $S_{\theta }(\omega )$ для $P_{\theta }(\rho )$;

2) отфильтровать $P_{\theta }(\rho )$ путем умножения на $\vert \omega \vert $ в частотной области;

3) вычислить обратное преобразование Фурье $Q_{\theta }(t)$ для каждого $S_{\theta }(\omega )\vert \omega \vert $;

4) вычислить обратное преобразование проекцией $Q_{\theta }(t)$ на $\langle x,y \rangle$.

Итак, мы видим, что в области обнаружения прямых преобразование Хафа часто выгодно использовать в форме преобразования Радона. Однако, во-первых, это зависит от количества информативных точек, подлежащих обнаружению (контурных и особых точек на порядки меньше, чем всех точек изображения, и поэтому их голосование может быть более эффективным, чем тотальное преобразование Радона), а во-вторых, как будет показано ниже, преобразование Хафа можно обобщить на случай обнаружения объектов произвольной формы.

Полезные ссылки

  1. ☝ К началу
  2. ☜ Преобразование Хафа, его обобщения и модификации
Личные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты