Проективные морфологии на базе методов интерполяции

Материал из Техническое зрение
Перейти к: навигация, поиск

Предложен ряд критериальных проективных морфологий на базе методов интерполяции. В качестве примера рассмотрим процедуру кусочно-линейной сегментации одномерной функции на базе линейной интерполяции. Такая процедура любой одномерной функции $f(x)$ ставит в соответствие некоторую ломаную $L(x)$, значения которой совпадают с исходной функцией в $n$ опорных (узловых) точках. Число опорных точек является переменным. При этом ОДЗ $\textbf{V}(f)$ представляет собой множество всех возможных ломаных, узлы которых принадлежат графику $f$. Однако легко показать, что при повторной сегментации уже сегментированной функции множество возможных решений $\textbf{V}(f)\not\subset \textbf{V}(L)$. Определим критерий оптимальной сегментации функционалом

$$ \textrm{Ф}(f,L) = -J(L) + \chi (f,L) + \alpha Q(L) \to \min(L), $$

где $J(L)$ - длина графика ломаной; $Q(L)$ - число узловых точек. Иными словами, процедура оптимальной сегментации состоит в отыскании такой ломаной, которая одновременно максимизирует длину графика и минимизирует число опорных точек. Данный критерий является $\textit{квазимонотонным по ОДЗ}$, и поскольку $J(L)$ не зависит от $f$, описанная процедура кусочно-линейной сегментации является морфологическим проектором. Критерий $J$, имеющий смысл "максимум длины графика интерполированной функции", легко обобщить на случай функций большего числа измерений. Например, для двумерной функции аналогичный критерий будет иметь вид "максимум площади поверхности графика интерполированной функции", и т.д.

6-3-23.jpg

Пример повторной кусочно-линейной сегментации на базе интерполяции

Переход от монотонных к квазимонотонным критериям позволяет обосновать существование широкого класса $\textit{критериальных проективных морфологий на базе структурной интерполяции}$, которые могут быть описаны следующим образом. Назовем набор образов $\textbf{X}=\boldsymbol{\epsilon}(A)=\{X_{1},X_{2},{\ldots},X_{n}\}\subseteq \Omega$ $\textit{полным структурным описанием}$ образа $\in \Omega $, если образ $A$ может быть полностью однозначно реконструирован путем объединения элементов из $\textbf{X}$:

$$ A=\delta (\textbf{X})=X_{1}\vee X_{2}\vee {\ldots}\vee X_{n}, $$

где ($\boldsymbol{\epsilon}, \delta )$ - операции сегментации и реконструкции соответственно. Определим $\textit{множество опорных элементов интерполяции}$ $\textbf{Y}\subseteq \textbf{X}$. $\textit{Интерполированный образ }$в таком случае будет иметь вид $A^{\prime} =\delta (\boldsymbol{\gamma }(\textbf{Y}))$, где $\boldsymbol{\gamma }$ - $\textit{оператор структурной интерполяции}$ такой, что $\forall \textbf{Y}: \textbf{Y}\subseteq \boldsymbol{\epsilon }(\delta (\boldsymbol{\gamma }(\textbf{Y})))$. Критериальная морфология на базе структурной интерполяции определяется решением следующей задачи:

$$ \begin{gather}\tag{1} \psi (A,\textrm{Ф})=A^{\prime} : \textrm{Ф}(A,A^{\prime} ) = J(A,A^{\prime} )+\chi (\boldsymbol{\epsilon }(A),\textbf{Y}) + \alpha \cdot Q(\textbf{Y}) \to \min(\textbf{Y}), \end{gather} $$

где $J(A,A^{\prime} )$ - критерий соответствия исходного и интерполированного образов; предикат $\chi (\textbf{X},\textbf{Y})$ описывает условие $\textbf{Y}\subseteq \textbf{X}$; $Q(\textbf{Y})=\textrm{dim}(\textbf{Y})$ - число опорных образов, используемых при интерполяции.

Если критерий $J(A,A^{\prime} )=-J(A^{\prime} )$ не зависит от $A$ и при этом

$$ \forall B\in \textbf{V}(A): J(B)<J(A), $$

то в силу рассуждений, аналогичных проведенным выше для примера оптимальной интерполяции одномерной функции, оператор оптимальной структурной интерполяции (1) будет являться $\textit{интерполяционным проектором}$. Используя различные способы структурного описания изображений и различные критерии, можно строить различные практически полезные процедуры сегментации изображений на базе структурной интерполяции образов и изображений для различных предметных областей.

Личные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты