Морфологический спектр

Материал из Техническое зрение
Перейти к: навигация, поиск

В различных областях, связанных с передачей и обработкой сигналов, нашли широкое применение спектральные подходы, основанные на преобразовании Фурье. В работах П.Марагоса по аналогии с преобразованием Фурье вводится представление изображения в виде форморазмерного спектра, вычисляемого при помощи операций математической морфологии Серра. Интересна также непосредственная связь введенных спектров с операцией скелетизации изображения, давно и плодотворно используемой как в ММ, так и в других методах преобразования и распознавания изображений.

Содержание

Структура преобразования Фурье

Рассмотрим с самых общих позиций преобразование Фурье. Оно содержит два этапа:

  1. Умножение одномерного сигнала $S(t)$ на комплексную синусоиду $e^{-i{\omega}t}$;
  2. Измерение площади под этим модифицированным сигналом $S(t)e^{-i{\omega}t}$.

Можно считать $e^{-i{\omega}t}$ некоторым "пробным образом", зависящим от частотного параметра ${\omega}$ и выделяющим некоторую информацию (спектральный состав) из сигнала путем модуляции и последующего измерения преобразованного сигнала. Причем собственной спектральной характеристикой "пробного образа" является импульс на соответствующей частоте ${\omega}$. Рассмотрим следующие аналогии:

  1. ${S(t) }\to {X }$ - двумерный образ;
  2. $e^{-i{\omega}t}\to B_n $ - двумерный структурирующий элемент размера (масштаба) $n$;
  3. ${\omega}\to n $ - размерный (масштабный) параметр;
  4. частотная модуляция $\to $ морфологическая фильтрация (открытие/закрытие) c использованием структурирующего элемента $B_{n}$ размером $n$.

Далее для простоты будем рассматривать непрерывный бинарный случай, хотя все вводимые понятия распространены на дискретный бинарный и непрерывный полутоновый случаи. Введем понятие размера множества $B$ (заметим, что это понятие отличается от понятия размера, приведенного ранее). Пусть на плоскости $R^{2}$ дано некоторое выпуклое множество $B$, размер которого считается единичным. Тогда множество $rB$, имеющее относительно $B$ размер $r$ ($r\in R)$, определяется как $$ rB= \{r\textbf{b} \,\vert\, \textbf{b}\in B\}, \quad r\ge 0 , $$ где умножение двумерной точки $\textbf{b}$ на скаляр $r$ понимается как умножение на этот скаляр каждой из ее координат. Очевидно, форма $rB$ повторяет форму $B$. Рассмотрим компактное (связное) бинарное изображение $X\subseteq R^2$.

Образовый спектр Марагоса

Определим образовый спектр (pattern spectrum) множества $X$ относительно выпуклого множества $B\subseteq R^2$ как функцию


\begin{gather}\tag{1} PS_x (r,B)=\frac{-dA(X\circ rB)}{dr},\quad r\ge 0, \end{gather}

\begin{gather}\tag{2} PS_x (-r,B)=\frac{dA(X\bullet rB)}{dr},\quad r>0, \end{gather}

где $A(X)$ - площадь $X$, и выражения (1) и (2) задают спектр соответственно на положительной и отрицательной частях оси $r$.

6-1-18.jpg

Рис. 18 Морфологический спектр с круглым структурирующим элементом и последовательные этапы морфологической обработки при его построении

Пусть $rB$ есть $rD$ - диск радиуса $r$. Убедимся в том, что спектральной характеристикой $rD$ является импульс в точке $r$ (как спектром $e^{-iwt}$ является импульс в точке $W$). В самом деле, так как $X = rD$ - компактный диск, то существует максимальное $p > 0$ такое, что $X\circ rB=0\forall r>p$. При $0 < r < p$ имеем $X\circ rB=X$. Следовательно, функция $A(X\circ rB)$ является ступенчатой и ее производная имеет один $\delta $-импульс в точке $r = p$. Физический смысл спектра легко понять, если учесть, что $X\circ rB=\mathop\cup\limits_{rB\in X} rB$ (см. выше). Это означает, что $A(X\circ rB)$ есть мера содержания $X$ относительно $rB$.

Виды информации в спектре

Морфологический спектр содержит наряду с другими четыре основных вида информации об образе $X$:

  1. неровность (шероховатость) поверхности относительно $B$, которой соответствует нижняя часть спектра ($r$ - мало);
  2. существование длинных мысов или больших выступающих частей границы, содержащих $sB$, показывает наличие изолированных импульсов при $r = s$;
  3. $B$-формность ($B$-образие) $X$, то есть максимальная степень содержания $B$ в $X$ может быть измерена с помощью $PS_{x}(p,B)/A(x)$;
  4. отрицательная часть $r$-оси демонстрирует наличие больших импульсов, если существует значительная вогнутость (впадины или дыры) в $X$.

Полезные ссылки

  1. ☝ К началу
  2. ☜ Математическая морфология (по Ж. Серра)
Личные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты