Морфологические разложения и их применение

Материал из Техническое зрение
Перейти к: навигация, поиск

В работе $[82]$ был предложен формализм$\textit{ проективных морфологических разложений}$, развивающий работы Ж. Серра по описанию морфологических операторов на основе теории решеток. Суть данного подхода заключается в следующем.

Пусть имеется два сорта элементов: $\textit{скаляры}$ и $\textit{образы}$. На множестве скаляров $\Psi $ определены две операции - $\textit{умножение}$ (${\bullet}$) и $\textit{объединение}$ ($\vee )$. Умножение определяет на множестве $\Psi $ группу с 1, объединение - полугруппу с $0$. Образы принимают значения на множестве $\Omega $, на котором также определена операция $\textit{объединения}$ ($\vee )$, задающая на $\Omega $ полугруппу с "нулевым образом" $\emptyset $. Кроме этого, на множестве образов $\Omega $ определена $\textit{норма}$ $\mu (A)=\vert \vert A \vert \vert : \Omega \to R$, $\vert \vert \emptyset \vert \vert =0$. Пусть также определена операция $\textit{умножения образа на скаляр}$ (${\bullet}$). Введем операцию $\textit{проекции образа на образ}$, обладающую следующими свойствами:

$$ \textrm{Pr}(A,B)\in \Omega ; \quad \textrm{Pr}(A,B)=\textrm{Pr}(\textrm{Pr}(A,B),B); $$


$$ \begin{gather}\tag{1} \textrm{Pr}(A,A)=A; \quad \textrm{Pr}(\emptyset ,A)=\emptyset ; \quad \textrm{Pr}(A,\emptyset )=\emptyset ; \end{gather} $$

$$\textrm{Pr}(a{\bullet}A,B)=a{\bullet}\textrm{Pr}(A,B); \quad \forall a\ne 0: \textrm{Pr}(A,a{\bullet}B)=\textrm{Pr}(A,B); $$

где $a\in \Psi $; $A,B,\emptyset \in \Omega $.

Множество $\textit{собственных}$ (стабильных) элементов проектора

$$ \textbf{М} = \{A\in \Omega : \textrm{Pr}(A,B)=A\} $$

называется $\textit{модельным множеством}$ или $\textit{моделью}$ образа $B$. Будем говорить, что модель $\textbf{M} _{1}$ по отношению к $\textbf{M} _{2}$ является $\textit{более общей (менее сложной)}$, а $\textbf{M} _{2}$ по отношению к $\textbf{M} _{1}$ является $\textit{менее общей (более сложной)}$, если $\textbf{M} _{2} \subseteq $ $\textbf{M} _{1}$ (рис. 5).

6-3-5.jpg

Идея морфологического сравнения форм по сложности. Пример упорядоченных по сложности классов образов в морфологии Пытьева и в морфологии Серра. Символ "$>$" обозначает отношение "не проще по форме"

Далее, назовем $\textit{линейным проектором}$ оператор (1) следующего вида:

$$ \textrm{Pr}(A,B)=r(A,B){\bullet}B, $$

где $r(A,B)$ - коэффициент $\textit{линейной связи}$ образа $A$ с образом $B$ со свойствами

$$ \begin{gather} r(A,A)=1; \: r(\emptyset ,A)=0; \: r(a{\bullet}A,B)=a{\bullet}r(A,B); \\ \forall a\ne 0: r(A, a{\bullet}B)=\frac{r(A,B)}{a}, \: A,B\in \Omega , \: r(A,B), \: a\in \Psi . \end{gather} $$

Функция $r(A,B): \Omega \times \Omega \to \Psi $ задает здесь систему парных отношений $\textit{структурного сходства }$образов, отражающую семантические свойства предметной области. Это позволяет, следуя методике Ю. П. Пытьева, ввести $\textit{нормированный коэффициент линейной морфологической корреляции}$:

$$ \begin{gather}\tag{2} K_{M}(A,B) = \frac{\vert\vert\mathrm{Pr}(A,B)\vert\vert}{\vert\vert A \vert\vert} \end{gather} $$

$$ 0 \le K_{M}(A,B); \: K_{M}(A,A)=1; \: K_{M}(A,B)=0 \Leftrightarrow \textrm{Pr}(A,B)=\emptyset . $$

Зададим теперь множество образов $\textbf{B}=\{B_{1},{\ldots},B_{n}\}\subseteq \Omega $. Операции объединения и умножения на скаляр образуют над ним замкнутое линейное подпространство $\textbf{B}\subseteq \Omega $, причем

$$ \forall A\in \textbf{B}: A= \vee_{k=1,\ldots, n }a_{k}B_{k}, $$

где $\textbf{a}=\langle a_{1},{\ldots},a_{n}\rangle $ - вектор $\textit{весов образующих}$. Если образы из \textbf{B} являются $\textit{линейно независимыми}$, то множество \textbf{B} можно назвать $\textit{базисом}$ $\textit{структурного описания}$, его элементы - $\textit{структурными примитивами}$, $n$ - $\textit{размерностью}$ $\textit{базиса}$. Определим $\textit{проекцию образа на подпространство}$:

$$ \begin{gather}\tag{3} \textrm{Pr}(A,\textbf{B})\in \textbf{B}; \quad \textrm{Pr}(A,\textbf{B})=\textrm{Pr}(\textrm{Pr}(A,\textbf{B}),\textbf{B}); \end{gather} $$

$$\textrm{Pr}(\emptyset ,\textbf{B})=\emptyset ;\quad \textrm{Pr}(a{\bullet}A,\textbf{B})=a{\bullet}\textrm{Pr}(A,\textbf{B}), $$

$a\in \Psi $; $A, \emptyset \in \Omega $;

$\textbf{B}\subseteq \Omega $. Пусть существует такой базис примитивов \textbf{E}, что проекция на замыкание $\textbf{E}$ удовлетворяет следующему $\textit{условию разложимости:}$

$$ \begin{gather}\tag{4} \textrm{Pr}(A,\textbf{E}) = \vee_{k=1,\ldots, n }\textrm{Pr}(A,E_{k}) = \vee_{k=1,\ldots, n }r(A,E_{k}){\bullet}E_{k}, \end{gather} $$

т.е. $\textit{проекция образа на базис есть объединение линейных проекций на его элементы}$. Тогда можно определить однозначную $\textit{операцию морфологического разложения образа по базису}$

$$ \mathbf{dec}_{\mathbf{E}} A=\mathbf{a}(A,\mathbf{E}): \Omega \to \Psi ^{n}. $$

Алгебраическую систему $\{\Psi , \Omega , {\bullet}, \vee , \mu , \textrm{Pr}, \textbf{E}\}$, для которой справедливо условие (6.3.4), будем далее называть $\textit{проективной морфологией}$ на $\Omega $. Базис \textbf{E} является здесь $\textit{базисом морфологического разложения.}$ Базис \textbf{E} будем называть $\textit{полным}$ на $\Omega $, если

$$ \forall A\in \Omega : \textrm{Pr}(A,\bf{E})=A \Leftrightarrow \textbf{E}=\Omega . $$

В работе показано, что $\textit{пространство векторов разложений}$ $\Theta =\Psi ^{n}$, в свою очередь, также является проективным пространством, в котором может быть задана операция $\textit{проекции вектора разложения на вектор разложения}$

$$ \textrm{Pr}(\textbf{a, b})=r(\textbf{a, b}){\bullet}\textbf{b} $$

такая, что для нее выполняется $\textit{условие соответствия}$

$$ \forall A,B,C\in \textbf{E}: C=\textrm{Pr}(A,B)=r(A,B){\bullet}B: \textbf{a}=\textbf{dec}_\mathbf{E}(A), \;\textbf{b}=\textbf{dec}_\mathbf{E}(B), \;\textbf{с}=\textbf{dec}_\mathbf{E}(C), $$

$$ \textbf{с}=\textrm{Pr}(\mathbf{a},\mathbf{b})=r(\mathbf{a}, \mathbf{b}){\bullet}\mathbf{b};\:r(A,B)=r(\mathbf{a},\mathbf{b}), $$

т.е. $\textit{линейная корреляция векторов разложений оказывается равна линейной корреляции исходных образов}$. Отсюда следует, что для оценки сходства двух образов $A$ и $B$ может быть использован $\textit{нормированный коэффициент линейной корреляции разложений}$

$$ K_{M}(\bf{a},\bf{b}) = \frac{\vert\vert \mathrm{Pr}( {a}, {b})\vert\vert} {\vert\vert {a}\vert\vert} , $$

где $\textbf{a}=\textbf{dec}(A)$, $\mathbf{b}=\mathbf{dec}(B)\in \Theta $, со свойствами

$$ 0 \le K_{M}(\textbf{a},\textbf{b});\quad K_{M}(\textbf{a},\textbf{a})=1;\quad K_{M}(\textbf{a},\textbf{b})=0 \Leftrightarrow \textrm{Pr}(A,B)=\emptyset . $$

Таким образом, можно утверждать, что векторы разложений из $\Theta $ адекватно описывают структурные отношения образов из $\Omega $, что позволяет обоснованно анализировать образы данного типа, опираясь на их признаковое описание в виде морфологических разложений.

Необходимо отметить, что в виде комбинации линейных проекторов могут быть представлены не только те операторы, которые традиционно считаются в обработке изображений линейными (фильтры базе фурье и вейвлет-преобразований, пытьевские морфологические проекторы), но также, например, и нелинейные операторы бинарной морфологии Серра. Для этого лишь необходимо соответствующим образом определить способ вычисления коэффициента линейной связи (рис. 6).

6-3-6.jpg

Принцип представления морфологических операторов Серра в виде линейных проекторов

Поскольку в общем случае оператор, сконструированный путем объединения проекций согласно выражению (4), не всегда является проектором в смысле условий (3), то для того чтобы гарантировать их выполнение, необходимо наложить дополнительные условия либо на операцию объединения, либо на вид оператора проекции, либо на способ формирования системы примитивов. Соответственно, будут определены различные типы морфологических разложений с различными свойствами.

$\textit{Монотонные разложения.}$ Пусть множество $\Omega $ представляет собой $\textit{решетку}$, т.\:е. частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов $A,B\in \Omega $ объединение $A\vee B$ является их $\textit{точной верхней границей}$, а также можно указать их $\textit{точную нижнюю границу}$ $A\wedge B$. Это позволяет определить для элементов решетки $\Omega $ $\textit{отношение включения}$

$$ \forall A,B\in \Omega : A \subseteq B \Leftrightarrow A\vee B=B, \quad \vert\vert A \vert\vert \le \vert\vert B \vert\vert . $$

Добавим дополнительные требования к проектору:

(а) $\textit{сохранения включения}$:

$$ \begin{gather}\tag{5} \forall A,B,C\in \Omega , \quad A \subseteq B \Leftrightarrow \textrm{Pr}(A,C) \subseteq \textrm{Pr}(B,C). \end{gather} $$

(б) $\textit{монотонности}$:

$$ \begin{gather}\tag{6} \forall A,B\in \Omega , \quad\textrm{Pr}(B,A) \subseteq \textrm{Pr}(A,A)=A. \end{gather} $$

Условия (5)-(6) являются $\textit{достаточными}$ для выполнения условия (4), то есть $\textit{в случае, когда пространство образов является алгебраической решеткой, а оператор проекции монотонен и сохраняет включение}$, $\it{любой базис примитивов является базисом морфологического разложения}$.

$\textit{Ортогональные разложения. }$Назовем $\textit{ортогональными }$любые два образа $A,B\in \Omega $ такие, что

$$ A\bot B \Leftrightarrow \{\textrm{Pr}(A,B)=\emptyset ; \: \textrm{Pr}(B,A)=\emptyset \}. $$

$\textit{Ортогональным базисом }$будет являться такой базис $\textbf{E}$, в котором

$$ \begin{gather}\tag{7} \forall E_{i},E_{k}\in \textbf{E}, \quad k\ne i: E_{i} \bot E_{k}. \end{gather} $$

Наложим теперь на операцию проектирования дополнительное требование $\textit{сохранения объединения}$:

$$ \begin{gather}\tag{8} \forall A,B,C\in \Omega ,\: A\vee B \Leftrightarrow \textrm{Pr}(A\vee B,C)= \textrm{Pr}(A,C) \vee \textrm{Pr}(B,C). \end{gather} $$

Условия (7)-(8) также являются $\textit{достаточными}$ для выполнения условия (4), то есть $\textit{для проектора, сохраняющего объединение}$, $\it{любой ортогональный базис примитивов является базисом морфологического разложения}$.

Подробнее

  1. Проективные морфологические разложения изображений.
  2. Морфологическая фильтрация изображений.
  3. Морфологические спектры.
  4. Морфологическое сравнение изображений.
  5. Морфологические алгоритмы обнаружения объектов на изображениях
  6. Монотонные морфологические фильтры. Морфологии на базе преобразования Хафа и его модификаций
  7. Морфологические операторы сегментации и сжатия данных
Личные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты