Морфологические операции на полутоновых изображениях

Материал из Техническое зрение
Перейти к: навигация, поиск

Естественный интерес представляет расширение основных операций и результатов бинарной морфологии на случай, когда изображение рассматривается как функция $f: F\to E$, где $F\subset E^{N-1}$, $N$ - размерность пространства (для случая двумерных изображений $F\subset E^2$), а $f$ задает интенсивность изображения на $F$ (для случая двумерных изображений $F\subset E^{2})$. Для обобщения операций морфологии на этот случай обычно вводят следующие понятия.

Содержание

Бинарная тень полутоновой функции

Тенью $f$ называется множество $U(f)\subset F\times E$, определяемое как $$ U(f) = \{\langle \textbf{x},y \rangle\in F\times E \;\vert\; y\le f(\textbf{x})\}. $$

Поверхностью множества $A\subseteq F\times E$ называется множество $T[A]: F\to E$, определяемое в каждой точке как $$ T[A](\textbf{x}) = \max_{\langle \textbf{x},y \rangle \in A } y. $$ Связь между этими понятиями очевидна: $$ T[U(f)] = f. $$ Геометрическое представление тени функции и поверхности представлено на рис. 14.

Теперь для полутонового изображения легко определить понятия основных морфологических операций.

Полутоновая дилатация и эрозия

Пусть $F,K\subseteq E^{N-1}$, $f: F\to E$, $k: K\to E$. Тогда дилатацией $f$ по $k$ называется $$ f\oplus k = T[U(f)\oplus _{b}U(k)]; $$

$\textit{эрозией}$ $f$ по $k$ называется $$ f\ominus k = T[U(f)\ominus _{b}U(k)], $$ где $\oplus _{b}$ и $\ominus _{b}$ есть определенные выше бинарные операции над $U(f),U(k)\subseteq E^{N}$. Другой способ вычисления эрозии и дилатации задается выражениями $$ f\oplus k(\textbf{x}) = \max_{A_{\textbf{z}}\in K ,\; (\textbf{x}-\textbf{z})\in F} \{f(\textbf{x}-\textbf{z})+k(\textbf{z})\}, $$ $$ f\ominus k(\textbf{x}) = \min_{A_{\textbf{z}}\in K,\; (\textbf{x}+\textbf{z})\in F}\{f(\textbf{x}+\textbf{z})-k(\textbf{z})\} . $$

Геометрическое представление

Геометрическое представление дилатации и эрозии функции и поверхности проиллюстрировано на рис. 15, 16.

6-1-14.jpg 6-1-15.jpg 6-1-16.jpg
Рис.14 "Тень" функции и поверхность

"тени"

Рис.15 Полутоновая морфо-

логическая эрозия

Рис.16 Полутоновая морфо-

логическая дилатация

Для полутоновых изображений существует аналог теоремы Матерона о представлении морфологических операторов в виде объединения эрозий. Кроме того, результаты здесь также могут быть представлены в двойственной форме, так как \begin{gather*} -(f\oplus k) = (-f)\ominus \widetilde{k} , \mbox{ где } \widetilde{k} (\textbf{x}) = k(-\textbf{x}) ,\\ f\ominus k = -((-f)\oplus \widetilde{k}). \end{gather*} Выражения для операций открытия и закрытия для полутонового случая полностью эквивалентны формулам 1 и 2 : $$ f\circ k=(f\ominus k)\oplus k, $$ $$ f{\bullet}k=(f\oplus k)\ominus k $$ с учетом всех предыдущих выражений.

Полезные ссылки

  1. ☝ К началу
  2. ☜ Математическая морфология (по Ж. Серра)
Личные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты