Морфологические операции на бинарных изображениях

Материал из Техническое зрение
Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Классическое описание ММ

Классическое описание операций бинарной математической морфологии было дано в терминах теории множеств, оперирующей такими понятиями, как объединение множеств, пересечение множеств и отношение включения. При этом бинарные изображения рассматриваются непосредственно как множества пикселов, поэтому соответствующие теоретико-множественные операции имеют очевидную наглядную интерпретацию в духе "кругов Эйлера" (рис.1).

Сложение и вычитание Минковского

Определим трансляцию множества (двумерного бинарного образа) $A\subset E$ по вектору смещения ${\textbf{z}}\in E$ как преобразование (рис.2) $$ A_{{\textbf{z}} }= \{{\textbf{q}}\;\vert\; {\textbf{a}}\in A, \:{\textbf{q}}={\textbf{a}}+{\textbf{z}}\}. $$ Сложение двумерных точек (пикселов) в данном случае понимается как сложение их декартовых координат. Пусть теперь даны два бинарных образа $A,B\subset E$. Операция $$ A\oplus B = \{{\textbf{a}}+{\textbf{b}} \;\vert\; {\textbf{a}}\in A, \: {\textbf{b}}\in B\} = \mathop\cup\limits_{{\textbf{a}}\in A} B_{{\textbf{a}}} = \mathop\cup\limits_{{\textbf{b}}\in B}A_{{\textbf{b}}} $$ называется сложением Минковского. Операция $$ A\ominus B = \{{\textbf{z}}\;\vert\; B_{{\textbf{z}}}\subseteq A\} = \mathop\cap\limits_{{\textbf{z}}\in B}A_{{\textbf{z}}} $$ называется вычитанием Минковского.

6-1-1.jpg

Рис. 1 Базовые понятия теории множеств применительно к бинарным фигурам

6-1-2.jpg

Рис. 2 Базовые операции бинарной математической морфологии

Дилитация и эрозия изображения

Множество $B$ будем в дальнейшем называть структурирующим элементом $B$. Так как операции, определяемые этими выражениями, удовлетворяют требованиям сохранения соответственно объединения и пересечения бинарных образов, то они называются также дилатацией (расширением) и эрозией (сжатием) изображения $X$ структурирующим элементом $B$ (по структурирующему элементу $B$) и являются базовыми операциями MM (рис.2).


Эти операции являются двойственными по отношению друг к другу в том смысле, что $$ X\ominus B = (X^{C}\oplus B^{V})^{C}, $$ где $X^{C}$--- дополнение к $X$, а $B^{V }= \{-{\textbf{b}}\;\vert\; {\textbf{b}}\in B\}$.

Следовательно, все положения или теоремы, доказанные относительно одной из операций, автоматически могут быть представлены в двойственной форме относительно другой операции.

Теорема Матерона

Фундаментальный результат, полученный Матероном (теорема Матерона), состоит в том, что любой увеличивающий оператор $\Psi $, инвариантный относительно трансляции, может быть представлен в виде объединения эрозий: $$ \Psi (X) = \mathop\cup\limits_{B\in k (\Psi)} X \ominus B, $$ где $k(\Psi )$~--- ядро $\Psi (X)$, то есть такое множество структурирующих элементов $B$, что $\Psi (B)$ содержит начало координат.

Этот результат также имеет двойственную форму: $$ \Psi (X) = \mathop\cap\limits_{B\in k (\Psi^*) } X \oplus B, $$ где $\Psi^*(X) = \Psi (X^{C})^{C}$.


Именно в силу теоремы Матерона эрозия и дилатация являются базовыми операциями MM, то есть любой морфологический фильтр может быть представлен в виде объединения эрозий или пересечения дилатаций.

Введем, наконец, операции открытия и закрытия, часто используемые в морфологии.

Открытие

Операция

\begin{gather}\tag{1} X \circ B = (X\ominus B)\oplus B \end{gather}

называется открытием $X$ по $B$ и имеет ясный физический смысл: $$ X\circ Bс = \mathop\cup\limits_{B_{{\textbf{z}}}\subseteq X} {B_{{\textbf{z}}}}. $$ Этот оператор является антиэкстенсивным и увеличивающим.

Закрытие

Закрытием $X$ по $B$ называется

\begin{gather}\tag{2} X{\bullet}B = (X\oplus B)\ominus B \end{gather}

Этот оператор является экстенсивным и увеличивающим.

Кроме того, оба эти оператора являются равносильными, а, следовательно, открытие и закрытие - это два простейших морфологических фильтра (рис.3).

6-1-3.jpg

Рис. 3 Простейшие фильтры в бинарной математической морфологии

6-1-4.jpg

Рис. 4 Изображение с "дефектами" типа "дырок" и "выступов"

Геометрический смысл

Рассмотрим геометрический смысл операторов математической морфологии на примере обработки искусственного изображения (рис. 4). На изображении представлен прямоугольный объект, имеющий "дефекты формы" типа внутренних "дырок" и внешних "выступов". Попробуем морфологическими средствами удалить эти дефекты формы объекта.

Поскольку объект имеет прямоугольную форму, будем использовать структурирующий элемент также прямоугольной формы. Габаритные размеры этого элемента должны быть не меньше, чем характерный "поперечный" размер (минимальная хорда) дефектов формы, подлежащих удалению.

Начнем с удаления внешних "выступов" формы. Для этого используется процедура открытия. На первом этапе этой процедуры выполняется операция сжатия (эрозии) объекта, которая удаляет ("съедает") внешние "выступы" формы. Однако внешний размер объекта при этом уменьшается, а внутренние дефекты, напротив, увеличиваются в размерах, в связи с чем после сжатия необходимо выполнить расширение (дилатацию) объекта с тем же структурирующим элементом. В результате выполнения всей операции открытия в целом внешние размеры и форма объекта оказываются восстановлены, но внутренние дефекты формы сохраняются (рис. 5,6).

6-1-5.jpg 6-1-6.jpg
Рис. 5 Результат сжатия (эрозии) Рис. 6 Результат открытия объекта объекта
(удаление внешних "выступов" формы)
6-1-7.jpg 6-1-8.jpg
Рис. 7 Результат расширения объекта
(удаление внутренних "дырок" формы)
Рис. 8 Результат закрытия (дилатация) объекта
6-1-9.jpg 6-1-10.jpg
Рис. 9 Результат открытия Рис. 10 Результат закрытия после открытия
(полное восстановление формы)


Рассмотрим теперь морфологическую технику удаления внутренних дефектов формы ("дырок"). Для этого используется процедура закрытия. На первом этапе этой процедуры выполняется операция расширения (дилатации) объекта, которая удаляет ("заращивает") внутренние "дыры" и "каналы". Однако внешний размер объекта при этом увеличивается, внешние дефекты также увеличиваются в размерах, в связи с чем после расширения необходимо выполнить сжатие (эрозию) объекта с тем же структурирующим элементом. В результате выполнения всей операции закрытия в целом размеры и внутренняя целостность объекта оказываются восстановлены, но внешние дефекты формы сохраняются (рис. 7,8).

Для того чтобы устранить и внешние и внутренние дефекты формы в данном примере, необходимо сначала применить к исходному изображению (рис. 4) открытие, а затем к результату открытия - закрытие с тем же прямоугольным структурирующим элементом (рис. 9,10).


Как видно из примера (рис. 9, 10), последовательная комбинация открытия и закрытия обеспечила полное восстановление формы исходной геометрической фигуры.

В заключение рассмотрим особенности морфологической фильтрации изображений с круглым (дисковым) структурирующим элементом. На рис. 11-13 приведен результат открытия прямоугольного объекта круглым структурирующим элементом. Результат сравнения (вычитания) изображений показывает, что в результате открытия форма объекта была специфическим образом искажена - углы прямоугольника оказались скругленными с радиусом закругления, равным радиусу структурирующего элемента.

6-1-11.jpg 6-1-12.jpg 6-1-13.jpg
Рис. 11 Исходный объект Рис. 12 Результат открытия
(фильтрация с круглой маской: эффект округления углов)
Рис. 13 Разность изображений

Данный эффект естественным образом следует из геометрического смысла операции открытия: результат открытия представляет собой объединение всех структурирующих элементов, целиком помещающихся внутри исходного объекта. Легко увидеть, что именно в углы прямоугольника дисковый структурирующий элемент никак не может поместиться целиком. В силу этого границу объекта после открытия (закрытия) иногда удобно представлять как кривую, полученную путем "качения" структурирующего элемента по внутренней (внешней) границе исходного объекта (см. также рис. 3).

Полезные ссылки

  1. ☝ К началу
  2. ☜ Математическая морфология (по Ж. Серра)
Личные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты