Критериальная проективная морфология

Пусть имеется множество $\textit{образов}$ $\Omega$, на котором определена операция $\textit{сложения}$ $(+)$, задающая на $\Omega$ группу с "нулевым образом" $\emptyset $. Кроме этого, на множестве образов определена $\Omega $ - норма $\mu (A)=\vert \vert A\vert \vert : \Omega \to R$, $\vert \vert \emptyset \vert \vert =0$, причем норма разности обладает свойствами $\textit{расстояния}$. $\textit{Оператором проекции}$ на $\Omega $ будем называть оператор Pr такой, что

$$ \forall A\in \Omega : \mathrm{Pr}(A)\in \Omega , \quad \mathrm{Pr}(\emptyset )=\emptyset , \quad \mathrm{Pr}(A)=\mathrm{Pr}(\mathrm{Pr}(A)). $$

Пусть далее целевая $\textit{функция-критерий}$ $\textrm{Ф}(A,B): \Omega \times \Omega \to R$ задана как $\textit{функция штрафа}$ в том смысле, что задача построения $\textit{оператора проекции на базе критерия}$ подразумевает ее минимизацию:

$$ \begin{gather}\tag{1} \mathrm{Pr}(A, \textrm{Ф})=B: \textrm{Ф}(A,B)\to \min(B\in \Omega ). \end{gather} $$

Множество $\textit{собственных}$ (стабильных) элементов проектора

$$ \textbf{М} = \{A\in \Omega : \mathrm{Pr}(A,\textrm{Ф})=A\} $$

в таком случае называется $\textit{критериальной морфологической моделью}$. $\textit{Хорошо определенным}$ критерием проектирования является такой, что

$$ \forall A\in \Omega \exists B\in \Omega : \forall C\in \Omega , \quad C\ne B \Rightarrow \textrm{Ф}(A,B)<\textrm{Ф}(A,C). $$

$\textit{Областью допустимых значений (ОДЗ)}$ критерия $\textrm{Ф}$ является

$$ \textbf{V}(A,\textrm{Ф}) = \{B\in \Omega : \textrm{Ф}(A,B)<+\infty \}. $$

$\textit{Необходимое условие проективности}$ оператора (1) имеет вид

$$ \forall A\in \Omega , B\in \textbf{V}(A,\textrm{Ф}): B\in \textbf{V}(B,\textrm{Ф}). $$

Во многих случаях используется также $\textit{условие монотонности по ОДЗ}$:

$$ \begin{gather}\tag{2} \forall A\in \Omega , \forall B\in \textbf{V}(A,\textrm{Ф}): \textbf{V}(B,\textrm{Ф})\subseteq \textbf{V}(A,\textrm{Ф}). \end{gather} $$

Определим теперь $\textit{стандартный критерий штрафа}$

$$ \begin{gather}\tag{3} \textrm{Ф}(A,B)= J(A,B) + \chi (A,B) + \alpha Q(B), \end{gather} $$

где $J(A,B)$ - $\textit{критерий соответствия}$ проекции и образа, причем

$$ \forall A\in \Omega , B\in \textbf{V}(A,\textrm{Ф}): J(A,A)\le J(A,B), $$

$\chi $(A,B) - $\textit{критерий (предикат) допустимости}$ решения, определяющий ОДЗ,

$$ \chi (A,B) = \begin{cases} 0, &B\in \textbf{V}(A,\textrm{Ф}); \cr +\infty, &B\notin \textbf{V}(A,\textrm{Ф}),\cr \end{cases} $$

$Q(B)$ - $\textit{критерий качества}$ проекции, характеризующий ее принадлежность модели \textbf{M}; $\alpha \ge 0$ - $\textit{структурирующий параметр}$, обеспечивающий компромисс между требованиями соответствия и качества. Соответствующий проектор является в общем случае $\textit{проектором на базе структурирующих критериев и параметров}$

$$ \begin{gather}\tag{4} Pr(A,J,\chi ,\alpha ,Q)=B: \textrm{Ф}(A,B,J,\chi ,\alpha ,Q)\to \min(B). \end{gather} $$

Если $\chi (A,B) \equiv 1$, критерий (3) принимает упрощенный вид

$$ \textrm{Ф}(A,B)= J(A,B) + \alpha Q(B). $$

В $[73]$ доказано, что с $\textit{увеличением}$ значения структурирующего параметра $\alpha $ в выражении (3) сложность модели, которую определяет проектор (4), также монотонно $\textit{возрастает}$. Таким образом, структурирующий параметр $\alpha $ также можно назвать $\textit{параметром морфологической сложности модели}$. Для любого конкретного образа $A$ однозначно определяется $\textit{коэффициент максимальной морфологической сложности}$ по отношению к $\{J,\chi ,Q\}$:

$$ \alpha _{\max}(A)=\max\{\alpha \ge 0: A=\mathrm{Pr}(A,J,\chi ,\alpha ,Q)\}. $$

Более того, методика построения морфологических спектров, ранее предложенная Марагосом в рамках морфологии Серра, может быть обобщена на случай любых проективных морфологических систем для вычисления $\textit{критериальных морфологических спектров }$по параметру морфологической сложности:

$$ \mathrm{Sp}(A,\alpha ) = - {\partial J(A,\mathrm{Pr}(A,J,\alpha ,Q))} / {\partial \alpha }. $$

Практическая схема вычисления таких морфологических спектров является двухэтапной и состоит в первоначальном построении распределения значений морфологического критерия по некоторому базовому переменному параметру (например, масштабу структурирующего элемента, числу мод гистограммы и т.\:п.) с последующим пересчетом этого распределения к соответствующим значениям параметра морфологической сложности (рис. 11).

Построение морфологического спектра по параметру сложности

Доказаны следующие $\textit{достаточные условия построения проективных операторов}$ на базе критериев типа (3).

Пусть критерий соответствия $J(A,B)$ обладает свойствами расстояния:

$$ \begin{gather}\tag{5} \forall A,B,C\in \Omega : J(A,B)\ge 0, \;J(A,A)=0, \\J(A,B)=J(B,A), \;J(A,B)+J(B,C) \ge J(A,C). \end{gather} $$

Тогда $\textit{монотонные по ОДЗ критерии минимального расстояния}$ (2, 4, 5) определяют морфологический проектор (4).

Определим критерий $\textit{максимума обобщенной нормы проекции}$ вида

$$ \begin{gather}\tag{6} \textrm{Ф}(A,B)=-J(B) + \chi (A,B) + \alpha Q(B), \end{gather} $$

$$ \begin{gather}\tag{7} \forall A\in \Omega , B\in \mathbf{V}(A,\textrm{Ф}): \mathbf{V}(B,\textrm{Ф})\subset \mathbf{V}(A,\textrm{Ф}), \end{gather} $$

$$ \begin{gather}\tag{8} \forall A\in \Omega , B\in \mathbf{V}(A,\textrm{Ф}): J(A)\ge J(B). \end{gather} $$

Тогда критерии максимума обобщенной нормы (6-8) определяют морфологический проектор (4). Также доказано, что любой образ, полученный в результате применения проектора минимума нормы разности, при последующем применении к нему проектора максимума обобщенной нормы проекции с теми же параметрами более не изменяется.

Назовем $\textit{эффективным подмножеством}$ области допустимых значений $\mathbf{V}(A, \textrm{Ф})$ такое множество $\mathbf{U}(A,\textrm{Ф})\subseteq \mathbf{V}(A,\textrm{Ф})$, что

$$ \forall B\in \mathbf{V}(A,\textrm{Ф}), B\notin \mathbf{U}(A,\textrm{Ф}): \exists C\in \mathbf{U}(A,\textrm{Ф}), \textrm{Ф}(A,C)<\textrm{Ф}(A,B). $$

Определим $\textit{условие квазимонотонности ОДЗ}$:

$$ \begin{gather}\tag{9} \forall A\in \Omega , \forall B\in \mathbf{V}(A,\textrm{Ф}): \mathbf{U}(B,\textrm{Ф})\subseteq \mathbf{V}(A,\textrm{Ф}). \end{gather} $$

Доказано, что квазимонотонные по ОДЗ критерии максимума обобщенной нормы (6, 7, 8) определяют морфологический проектор (4).

Также показано, что если критерий качества задан $\textit{штрафным предикатом}$ $Q(B)\in \{0,+\infty \}$, а критерий $J(A,B)$ является $\textit{выпуклой функцией соответствия}$

$$ \forall A,B\in \Omega , A\ne B \Rightarrow J(A,A)<J(A,B), $$

оператор (4) является проектором.

Для обобщенных критериальных морфологий рекомендуется использовать $\textit{модифицированный морфологический коэффициент корреляции}$

$$ \begin{gather}\tag{10} K_\mathrm{М}(A,\mathrm{Pr})=K_\mathrm{M}(A,\mathbf{M})= \exp \left( - \frac {\vert\vert A- \mathrm{Pr} (A, M)\vert\vert} {\vert \vert \mathrm{Pr}(A,M)\vert\vert} \right) , \end{gather} $$

$$ 0\le K_{M}(A,\mathbf{M})\le 1;~ K_{M}(A,\mathbf{M})=1 \Leftrightarrow A\in \mathbf{M};~ \mathrm{Pr}(A,\mathbf{M})=0 \Leftrightarrow K_{M}(A,\mathbf{M})=0. $$

Форма выражения (10) отличается от формы выражения ({6.3.2}), поскольку в общем случае равенство нормы проекции норме исходного изображения уже не гарантирует совпадения проекции с изображением.

Подробнее

1. Проективные морфологии на базе функционалов
2. Проективные морфологии на базе динамического программирования
3. Динамическое программирование и способы описания двумерных изображений
4. Динамическое программирование на базе развертки по кривым Гильберта-Пеано
5. Динамическое программирование на основе стековых деревьев.
6. Проективные морфологии на базе методов интерполяции