Геометрические преобразования

Материал из Техническое зрение
Перейти к: навигация, поиск

Регулярные преобразования координатного геометрического пространства (сдвиг, масштаб, поворот, аффинное и проективное преобразования) позволяют описать те условия регистрации изображений объектов и сцен, которые наблюдаются в различных практических задачах. Как известно, $\textit{алгебраический подход}$ позволяет обобщить все частные виды преобразований понятием $\textit{группы преобразований}$. Назовем $\textit{преобразованием}$ любое отображение

$$\tau : \Omega \to \Omega .$$

$\textit{Группой T }$называется такое множество преобразований, что $\forall A\in \Omega $

$$ \begin{gather*} \exists \tau _{0}\in T: \tau _{0}(A)=A; \forall \tau ,\sigma \in T: \tau (\sigma (A))=\sigma (\tau (A)); \cr \forall \tau \in T \exists \tau ^{-1}\in T: \tau (\tau ^{-1}(A))=\tau ^{-1}(\tau (A))=A. \end{gather*} $$

С учетом понятия группы преобразований легко дать морфологическую формулировку задачи $\textit{инвариантного обнаружения}$ некоторой фигуры на изображении, подвергающемся в ходе регистрации яркостно-геометрическим преобразованиям из $T$. Пусть дан эталон $B\in \Omega $ и наблюдается изображение $A\in \Omega $. Тогда с морфологической точки зрения сравнивать $A$ нужно не с $B$, а с гипотетическим прообразом $L=\tau (B)$:

$$ \phi _{\textrm{Ф}}(A,B)=L=\tau (B): \textrm{Ф}(A,L)=K(A,\tau (B))\cdot M(\tau )\to \max(\tau \in T). $$

Поскольку благодаря координатному подходу все геометрические преобразования в аналитической геометрии являются параметризованными, причем размерность вектора параметров $n$ соответствует числу $\textit{степеней свободы}$ преобразования, всегда можно определить $\textit{параметрическое описание}$ множества преобразований $\Lambda $=R$^{n}$, взаимно однозначно связанное с группой преобразований изображения

$$ T\leftrightarrow \Lambda =R^{n}. $$

С учетом этого морфологическая постановка задачи инвариантного обнаружения принимает привычный вид

$$ \epsilon _{\textrm{Ф}}(A,B)=\lambda : \textrm{Ф}(A,\lambda )=K(A,\delta _{B}(\lambda ))\cdot M(\lambda )\to \max(\lambda \in \Lambda ), $$

где $\delta _{B}(\lambda )=\tau (\lambda )(B)$ - функция реконструкции прообраза по описанию $\{\lambda ,B\}$. Такую модель можно назвать $\textit{трансформационной моделью}$ изображения. Заметим, что такая постановка задачи не является, вообще говоря, чем-то новым даже для древнегреческих геометров. Примером задач инвариантного обнаружения являются, в частности, классические задачи на построение $\textit{подобных фигур}$, предполагающие инвариантность метода построения к сдвигу, повороту и масштабу.


Полезные ссылки

  1. ☝ К началу
  2. ☜ Изображение как геометрический объект
Личные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты